O espaço entre dois cilindros coaxiais muito compridos, de raios R1, está carregado com uma densidade volúmica de carga rho=alpha / r. Para pontos muito mais perto do eixo dos cilindros que das suas extremidades, podemos fazer a aproximação de que os cilindros são infinitos.
Partindo dos resultados da alínea anterior, deduza as expressões do potencial eléctrico, sob a hipótese que V(R1)=0.

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem dois cilindros coaxiais infinitos (ou muito compridos), de raios rho(r)=alphar, (interno) e V(b)-V(a)=-integrala^bEcdot dell, (externo), e entre eles há uma densidade volumétrica de carga
O que pedem é achar o potencial elétrico para , sabendo que escolhemos a referência .
Matéria: eletrostática, mais especificamente Lei de Gauss para achar o campo e depois relação entre campo e potencial

Passo 2

Primeiro, vamos achar PhiE=oint Ecdot dA=E(r),l(2pi r Lr), usando a Lei de Gauss.
  1. Escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica de raio Qrm encl =integralVrho,dV =integralz=0^L!integralphi=0^2pi!integralr'=R1^ralphar',(r',dr',dphi,dz) =2pialpha L,(r-R1) e comprimento E(r),(2pi r L)=Qrm enclvarepsilon0 =2pialpha L,(r-R1)varepsilon0 ;;Longrightarrow;; E(r)=alphavarepsilon0,r-R1r, , com .
  2. O fluxo é
porque é radial e constante em módulo na superfície lateral.
3) A carga total dentro dessa superfície é
  1. Pela Lei de Gauss:

Passo 3

Agora vamos o potencial. Como V(r)-V(R1)=-integralR1^rE(r'),dr' =-alphavarepsilon0integralR1^rl(1-R1r'r),dr' , para um ponto geral integralR1^rl(1-R1r'r)dr' =l[r'-R1ln r'r]R1^r =l(r-R1r)-R1l(ln r-ln R1r) temos
V(r) =-alphavarepsilon0l[(r-R1)-R1ln!tfracrR1r]
Fazendo a integral:
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Resposta

boxed% V(r) =-alphavarepsilon0l(r-R1-R1ln!tfracrR1r), R1<= r<= R2, V(R1)=0

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