1-) O espaço entre dois cilindros metálicos longos e finos é preenchido com um material de constante dielétrica \varepsilon. Os cilindros têm raios a e b . (a) Qual é a carga por unidade de comprimento nos cilindros quando o potencial entre eles é ( V ), sendo o cilindro externo o de maior potencial? (b) Qual é o campo elétrico entre os cilindros?

Passo 1

O enunciado dá dois cilindros metálicos coaxiais muito longos e finos, com raios a (cilindro interno) e b (cilindro externo), e o espaço entre eles está preenchido por um material com constante dielétrica \varepsilon. Diz-se que o potencial entre eles é V, sendo o cilindro externo o de maior potencial. As perguntas são: (a) qual é a carga por unidade de comprimento nos cilindros? (b) qual é o campo elétrico entre os cilindros (ou seja, para a<r<b)?
Informações relevantes fornecidas: a,\;b,\;\varepsilon,\;V e que o cilindro externo está a maior potencial (ou seja, V=V_{\text{externo}}-V_{\text{interno}}>0).

Passo 2

Simetria e escolha da equação básica. Como os cilindros são longos e coaxiais, o problema tem simetria cilíndrica: o campo depende apenas da distância radial r ao eixo e é radial. Para problemas com dielétrico homogêneo usamos a forma integral da Lei de Gauss:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon},
onde \varepsilon é a permissividade do material entre os cilindros (isto é, a constante dielétrica multiplicada por \varepsilon_0 se o enunciado usar \varepsilon_r; aqui vamos usar \varepsilon conforme dado). Explico as quantidades:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico; aqui será radial, \mathbf{E}=E(r)\,\hat{r}.
  • d\mathbf{A} é o elemento de área sobre a superfície gaussiana.
  • Q_{\text{enc}} é a carga livre total contida pela superfície gaussiana.
  • \varepsilon relaciona fluxo elétrico a carga no material (unidade: C·m{-1}·V{-1}).

Passo 3

Aplicando Gauss com uma superfície cilíndrica coaxial de raio r tal que a<r<b e comprimento L. A superfície tem área lateral A=2\pi r L. Como \mathbf{E} é radial e constante em módulo sobre essa lateral,
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 2\pi r L.
A carga livre dentro dessa superfície é a carga do cilindro interno sobre o comprimento L, que chamamos \lambda L, onde \lambda é a carga por unidade de comprimento do cilindro interno. Assim, pela Lei de Gauss:
E(r)\,2\pi r L=\frac{\lambda L}{\varepsilon}.
Cancelando L,
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon\,r}.
Comentário didático: essa é a forma típica do campo radial criado por uma densidade linear de carga em presença de um dielétrico homogêneo — a única diferença em relação ao vácuo é que aparece \varepsilon em vez de \varepsilon_0.

Passo 4

Agora relacionamos campo e diferença de potencial. A diferença de potencial entre dois pontos é o negativo do integral do campo ao longo do caminho. Como o campo é radial, para a diferença entre os cilindros:
V=V(b)-V(a)=-\int_{a}^{b}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{r}=-\int_{a}^{b}E(r)\,dr.
Substituindo a expressão de E(r) obtida:
V=-\int_{a}^{b}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon\,r}\,dr.
Essa integral é direta; integramos 1/r:
V=-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).
Explicação do sinal: se \lambda>0 o campo aponta para fora e o potencial decresce ao afastar-se do interior, daí o negativo; aqui o enunciado diz que V=V(b)-V(a)>0, logo isso implicará sinal específico para \lambda.

Passo 5

Isolando \lambda a partir da relação anterior:
\lambda=-\frac{2\pi\varepsilon\,V}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.
Interpretação física do sinal: obtivemos \lambda<0 porque o enunciado informou que o cilindro externo está a maior potencial. Então a carga por unidade de comprimento no cilindro interno é negativa e vale o valor acima. Como os cilindros são metálicos e o sistema é neutro (ou se considerarmos as cargas nos dois condutores), a carga por unidade de comprimento do cilindro externo será o oposto:
\lambda_{\text{interno}}=\lambda=-\frac{2\pi\varepsilon\,V}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)},\qquad \lambda_{\text{externo}}=-\lambda=+\frac{2\pi\varepsilon\,V}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.
Comentário prático: muitos exercícios apresentam só o módulo da carga linear; nesse caso |\lambda|=\dfrac{2\pi\varepsilon\,V}{\ln(b/a)}.

Passo 6

Agora escrevemos o campo elétrico entre os cilindros substituindo \lambda em E(r)=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon r}. Fazendo a substituição:
E(r)=\frac{1}{2\pi\varepsilon r}\left(-\frac{2\pi\varepsilon\,V}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}\right)=-\frac{V}{r\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}\qquad (a<r<b).
Em forma vetorial, usando o versor radial \hat{r}:
\mathbf{E}(r)=-\frac{V}{r\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}\,\hat{r}\qquad (a<r<b).
Interpretação: o sinal negativo indica que o campo aponta no sentido radial negativo (isto é, direcionado do cilindro externo para o cilindro interno), consistente com o fato de o cilindro externo estar a potencial maior (o campo aponta da região de maior potencial para a de menor). O módulo do campo é
|\mathbf{E}(r)|=\frac{V}{r\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}.

Resposta

(a) \lambda_{\text{interno}}=-\dfrac{2\pi\varepsilon\,V}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}, \lambda_{\text{externo}}=+\dfrac{2\pi\varepsilon\,V}{\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}\n
(b) \displaystyle \mathbf{E}(r)=-\frac{V}{r\ln\!\left(\dfrac{b}{a}\right)}\,\hat{r}\quad (a<r<b)

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