1-) O espaço entre dois cilindros metálicos longos e finos é preenchido com um material de constante dielétrica \varepsilon. Os cilindros têm raios a e b . (a) Qual é a carga por unidade de comprimento nos cilindros quando o potencial entre eles é ( V ), sendo o cilindro externo o de maior potencial? (b) Qual é o campo elétrico entre os cilindros?
Passo 1
O enunciado dá dois cilindros metálicos coaxiais muito longos e finos, com raios a (cilindro interno) e b (cilindro externo), e o espaço entre eles está preenchido por um material com constante dielétrica \varepsilon. Diz-se que o potencial entre eles é V, sendo o cilindro externo o de maior potencial. As perguntas são: (a) qual é a carga por unidade de comprimento nos cilindros? (b) qual é o campo elétrico entre os cilindros (ou seja, para a<r<b)?
Informações relevantes fornecidas: a,\;b,\;\varepsilon,\;V e que o cilindro externo está a maior potencial (ou seja, V=V_{\text{externo}}-V_{\text{interno}}>0).
Passo 2
Simetria e escolha da equação básica. Como os cilindros são longos e coaxiais, o problema tem simetria cilíndrica: o campo depende apenas da distância radial r ao eixo e é radial. Para problemas com dielétrico homogêneo usamos a forma integral da Lei de Gauss:
onde \varepsilon é a permissividade do material entre os cilindros (isto é, a constante dielétrica multiplicada por \varepsilon_0 se o enunciado usar \varepsilon_r; aqui vamos usar \varepsilon conforme dado). Explico as quantidades:
\mathbf{E} é o campo elétrico; aqui será radial, \mathbf{E}=E(r)\,\hat{r}.
d\mathbf{A} é o elemento de área sobre a superfície gaussiana.
Q_{\text{enc}} é a carga livre total contida pela superfície gaussiana.
\varepsilon relaciona fluxo elétrico a carga no material (unidade: C·m{-1}·V{-1}).
Passo 3
Aplicando Gauss com uma superfície cilíndrica coaxial de raio r tal que a<r<b e comprimento L. A superfície tem área lateral A=2\pi r L. Como \mathbf{E} é radial e constante em módulo sobre essa lateral,
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=E(r)\cdot 2\pi r L.
A carga livre dentro dessa superfície é a carga do cilindro interno sobre o comprimento L, que chamamos \lambda L, onde \lambda é a carga por unidade de comprimento do cilindro interno. Assim, pela Lei de Gauss:
E(r)\,2\pi r L=\frac{\lambda L}{\varepsilon}.
Cancelando L,
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon\,r}.
Comentário didático: essa é a forma típica do campo radial criado por uma densidade linear de carga em presença de um dielétrico homogêneo — a única diferença em relação ao vácuo é que aparece \varepsilon em vez de \varepsilon_0.
Passo 4
Agora relacionamos campo e diferença de potencial. A diferença de potencial entre dois pontos é o negativo do integral do campo ao longo do caminho. Como o campo é radial, para a diferença entre os cilindros:
Explicação do sinal: se \lambda>0 o campo aponta para fora e o potencial decresce ao afastar-se do interior, daí o negativo; aqui o enunciado diz que V=V(b)-V(a)>0, logo isso implicará sinal específico para \lambda.
Interpretação física do sinal: obtivemos \lambda<0 porque o enunciado informou que o cilindro externo está a maior potencial. Então a carga por unidade de comprimento no cilindro interno é negativa e vale o valor acima. Como os cilindros são metálicos e o sistema é neutro (ou se considerarmos as cargas nos dois condutores), a carga por unidade de comprimento do cilindro externo será o oposto:
Interpretação: o sinal negativo indica que o campo aponta no sentido radial negativo (isto é, direcionado do cilindro externo para o cilindro interno), consistente com o fato de o cilindro externo estar a potencial maior (o campo aponta da região de maior potencial para a de menor). O módulo do campo é