Um próton é lançado com uma velocidade de
a partir do ponto central de um capacitor de placas paralelas em direção à placa positiva. Uma das placas do capacitor esta aterrada e a outra está a 500 V . a) mostre que essa velocidade é insuficiente para que o próton alcance a placa positiva. b) qual a velocidade do próton ao colidir com a placa negativa?
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Dados:
Constantes (valores usados):
Perguntas do enunciado:
a) Mostrar que a velocidade inicial é insuficiente para que o próton alcance a placa positiva.
b) Determinar a velocidade do próton ao colidir com a placa negativa.
a) Mostrar que a velocidade inicial é insuficiente para que o próton alcance a placa positiva.
b) Determinar a velocidade do próton ao colidir com a placa negativa.
Passo 2
Conceitos físicos que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas):
- Energia cinética: a energia associada ao movimento de uma partícula de massa
e velocidade é dada por
onde
é a energia em joules,
em kg e
em
.
- Energia potencial elétrica de uma carga
num ponto com potencial elétrico é
onde
é a energia em joules,
em coulombs e
em volts.
- Conservação da energia mecânica elétrica (não há forças dissipativas aqui): a soma da energia cinética e da energia potencial elétrica é constante:
Isto significa que, quando a carga se desloca em um campo elétrico, a variação da energia potencial elétrica transforma-se em variação da energia cinética.
- Assumimos campo uniforme entre as placas paralelas — nessa situação o potencial varia linearmente entre as placas. Como o próton parte do ponto central, o potencial naquele ponto é a média aritmética das tensões das placas. Portanto o potencial no centro é
Mover-se do centro até a placa positiva aumenta o potencial de
para
(aumenta em
); como o próton tem carga positiva, sua energia potencial aumenta nesse deslocamento, o que consome energia cinética. Isso é o motivo pelo qual pode faltar energia para alcançar a placa positiva.
Passo 3
Calcular a energia cinética inicial do próton
.
Usamos a fórmula
Substituindo os valores numéricos:
Calculemos passo a passo:
Passo 4
Verificação (parte a): energia necessária para que o próton vá do centro até a placa positiva.
A variação de potencial ao ir do centro (
) até a placa positiva (
) é
A variação correspondente da energia potencial elétrica para uma carga
é
Calculando:
Comparando com a energia cinética inicial:
Como
, a energia cinética inicial é menor que a energia necessária para elevar a energia potencial até a placa positiva. Consequência física: o próton ficará sem energia cinética antes de atingir a placa positiva — ele é detido em algum ponto entre o centro e a placa positiva (ponto de inversão) e então reverte o sentido do movimento. Logo, a velocidade inicial é insuficiente para alcançar a placa positiva. (Resposta à letra a).
Passo 5
Determinar a velocidade ao colidir com a placa negativa (parte b): raciocínio e cálculo.
Depois de ser detido e invertido, o próton cairá em direção à placa negativa (
). Do centro até a placa negativa a variação de potencial é
A energia potencial elétrica diminui nessa descida; a diminuição da energia potencial transforma-se em energia cinética. Usando conservação de energia entre o ponto inicial (centro) e a chegada na placa negativa:
Como
, isso equivale a:
Substituindo os números:
Passo 6
Calcular a velocidade final
a partir de
.
Usamos
Substituindo:
Calcule o resultado numérico:
(aproximando a três algarismos significativos; valor calculado ≈
).
Resposta
a) A velocidade
é insuficiente; o próton não alcança a placa positiva.
b) Velocidade ao colidir com a placa negativa: .
b) Velocidade ao colidir com a placa negativa: