Um próton é lançado com uma velocidade de 200.000 \mathrm{~m} / \mathrm{s} a partir do ponto central de um capacitor de placas paralelas em direção à placa positiva. Uma das placas do capacitor esta aterrada e a outra está a 500 V . a) mostre que essa velocidade é insuficiente para que o próton alcance a placa positiva. b) qual a velocidade do próton ao colidir com a placa negativa?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas.
Dados:
\text{velocidade inicial do próton: } v_0 = 2{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}ó
\text{tensão entre as placas: } V_{\text{positiva}}=500\\ \mathrm{V},\quad V_{\text{aterrada}}=0\\ \mathrm{V}ã
\text{o próton é lançado a partir do ponto central entre as placas (metade do caminho)}óéç
Constantes (valores usados):
e = 1{,}602176634\times10^{-19}\\ \mathrm{C}\quad\text{(carga do próton)}ó
m_p = 1{,}67262192369\times10^{-27}\\ \mathrm{kg}\quad\text{(massa do próton)}ó
Perguntas do enunciado:
a) Mostrar que a velocidade inicial é insuficiente para que o próton alcance a placa positiva.
b) Determinar a velocidade do próton ao colidir com a placa negativa.

Passo 2

Conceitos físicos que vamos usar (explicação didática, sem pular etapas):
  1. Energia cinética: a energia associada ao movimento de uma partícula de massa m e velocidade v é dada por
K=\frac{1}{2} m v^{2},
onde K é a energia em joules, m em kg e v em \mathrm{m/s}.
  1. Energia potencial elétrica de uma carga q num ponto com potencial elétrico V é
U=qV,
onde U é a energia em joules, q em coulombs e V em volts.
  1. Conservação da energia mecânica elétrica (não há forças dissipativas aqui): a soma da energia cinética e da energia potencial elétrica é constante:
K_i + U_i = K_f + U_f.
Isto significa que, quando a carga se desloca em um campo elétrico, a variação da energia potencial elétrica transforma-se em variação da energia cinética.
  1. Assumimos campo uniforme entre as placas paralelas — nessa situação o potencial varia linearmente entre as placas. Como o próton parte do ponto central, o potencial naquele ponto é a média aritmética das tensões das placas. Portanto o potencial no centro é
V_{\text{centro}}=\frac{0 + 500}{2}=250\\ \mathrm{V}.
Mover-se do centro até a placa positiva aumenta o potencial de 250\\ \mathrm{V} para 500\\ \mathrm{V} (aumenta em +250\\ \mathrm{V}); como o próton tem carga positiva, sua energia potencial aumenta nesse deslocamento, o que consome energia cinética. Isso é o motivo pelo qual pode faltar energia para alcançar a placa positiva.

Passo 3

Calcular a energia cinética inicial do próton K_i.
Usamos a fórmula
K_i=\frac{1}{2} m_p v_0^{2}.
Substituindo os valores numéricos:
K_i=\frac{1}{2}\cdot 1{,}67262192369\times10^{-27}\cdot\bigl(2{,}00\times10^{5}\bigr)^{2}.
Calculemos passo a passo:
\bigl(2{,}00\times10^{5}\bigr)^{2}=4{,}00\times10^{10}.
K_i=\frac{1}{2}\cdot 1{,}67262192369\times10^{-27}\cdot 4{,}00\times10^{10} =1{,}67262192369\times10^{-27}\cdot 2{,}00\times10^{10}.
K_i=3{,}34524384738\times10^{-17}\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Verificação (parte a): energia necessária para que o próton vá do centro até a placa positiva.
A variação de potencial ao ir do centro ( V_{\text{centro}}=250\\ \mathrm{V}) até a placa positiva ( V_{\text{positiva}}=500\\ \mathrm{V}) é
\Delta V = V_{\text{positiva}}-V_{\text{centro}}=500-250=250\\ \mathrm{V}.
A variação correspondente da energia potencial elétrica para uma carga q=e é
\Delta U = e\,\Delta V = 1{,}602176634\times10^{-19}\cdot 250.
Calculando:
\Delta U =4{,}005441585\times10^{-17}\\ \mathrm{J}.
Comparando com a energia cinética inicial:
K_i=3{,}34524384738\times10^{-17}\\ \mathrm{J}\quad\text{e}\quad \Delta U=4{,}005441585\times10^{-17}\\ \mathrm{J}.
Como K_i<\Delta U, a energia cinética inicial é menor que a energia necessária para elevar a energia potencial até a placa positiva. Consequência física: o próton ficará sem energia cinética antes de atingir a placa positiva — ele é detido em algum ponto entre o centro e a placa positiva (ponto de inversão) e então reverte o sentido do movimento. Logo, a velocidade inicial é insuficiente para alcançar a placa positiva. (Resposta à letra a).

Passo 5

Determinar a velocidade ao colidir com a placa negativa (parte b): raciocínio e cálculo.
Depois de ser detido e invertido, o próton cairá em direção à placa negativa ( V_{\text{aterrada}}=0\\ \mathrm{V}). Do centro até a placa negativa a variação de potencial é
\Delta V' = V_{\text{final}}-V_{\text{centro}}=0-250=-250\\ \mathrm{V}.
A energia potencial elétrica diminui nessa descida; a diminuição da energia potencial transforma-se em energia cinética. Usando conservação de energia entre o ponto inicial (centro) e a chegada na placa negativa:
K_f = K_i + e\,(V_{\text{centro}}-V_{\text{final}}).
Como V_{\text{centro}}-V_{\text{final}}=250\\ \mathrm{V}, isso equivale a:
K_f = K_i + e\cdot 250.
Substituindo os números:
K_f = 3{,}34524384738\times10^{-17} + 4{,}005441585\times10^{-17} =7{,}35068543238\times10^{-17}\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Calcular a velocidade final v_f a partir de K_f.
Usamos
K_f=\frac{1}{2} m_p v_f^{2}\quad\Rightarrow\quad v_f=\sqrt{\frac{2K_f}{m_p}}.
Substituindo:
v_f=\sqrt{\frac{2\cdot 7{,}35068543238\times10^{-17}}{1{,}67262192369\times10^{-27}}}.
Calcule o resultado numérico:
v_f\approx 2{,}97\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}.
(aproximando a três algarismos significativos; valor calculado ≈ 2{,}965\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}).

Resposta

a) A velocidade 2{,}00\times10^{5}\\ \mathrm{m/s} é insuficiente; o próton não alcança a placa positiva.
b) Velocidade ao colidir com a placa negativa: v_f\approx 2{,}97\times10^{5}\\ \mathrm{m/s}.

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