Uma esfera dielétrica possui uma carga total Q. No interior da esfera existe uma distribuição de cargas volumétrica \rho=\mathrm{Br}, onde B é uma constante, e r é a distância variável de cada elemento de carga até o centro da esfera. Determine:
(a) a carga total Q em função de B e r.
(b) O potencial para os pontos r>R.
(c) o potencial para os pontos no interior da esfera, r<R.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma esfera de raio R com densidade volumétrica de carga
\rho(r)=B\,r,
onde B é constante e r é a distância ao centro. Precisamos encontrar:
(a) a carga total Q em termos de B e R;
(b) o potencial elétrico V(r) para pontos externos ( r>R);
(c) o potencial elétrico V(r) para pontos internos ( r<R).
O conteúdo usado será eletrostática: definição de carga por integração, Lei de Gauss para obter \mathbf{E} e então integrar \mathbf{E} para achar V.

Passo 2

Para achar a carga total usamos
Q=\int_{V}\rho\,d\tau.
Em coordenadas esféricas d\tau=4\pi r^2\,dr, logo
Q=\int_{0}^{R}B\,r\;(4\pi r^2)\,dr =4\pi B\int_{0}^{R}r^3\,dr =4\pi B\;\frac{R^4}{4} =\pi B\,R^4.

Passo 3

Usamos a Lei de Gauss para obter o campo elétrico radial:
\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{a} =\frac{Q_{\rm int}}{\varepsilon_{0}}.
Para r<R, a carga interna é
\displaystyle Q_{\rm int}(r)=\pi B\,r^4,
logo
E(r)\,4\pi r^2 =\frac{\pi B\,r^4}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r)=\frac{B\,r^2}{4\varepsilon_{0}} \quad(r<R).
Para r>R, toda a carga Q=\pi B\,R^4 está dentro, então
E(r)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q}{r^2} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{\pi B\,R^4}{r^2} =\frac{B\,R^4}{4\varepsilon_{0}\,r^2}.

Passo 4

O potencial externo V(r) ( r>R) tomado nulo no infinito é
V(r)=-\int_{\infty}^{r}E(r')\,dr' =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q}{r} =\frac{\pi B\,R^4}{4\pi\varepsilon_{0}\,r} =\frac{B\,R^4}{4\varepsilon_{0}\,r}.

Passo 5

Para r<R, usamos continuidade de V em r=R e
V(r)=V(R)-\int_{R}^{r}E(r')\,dr'.
Sabendo V(R)=\tfrac{B\,R^4}{4\varepsilon_{0}\,R}=\tfrac{B\,R^3}{4\varepsilon_{0}} e E(r')=\tfrac{B\,r'^2}{4\varepsilon_{0}}, temos
V(r) =\frac{B\,R^3}{4\varepsilon_{0}} -\int_{R}^{r}\frac{B\,r'^2}{4\varepsilon_{0}}\,dr' =\frac{B\,R^3}{4\varepsilon_{0}} -\frac{B}{4\varepsilon_{0}}\;\frac{r^3-R^3}{3} =\frac{B}{12\varepsilon_{0}}\,(4R^3-r^3).

Resposta

(a) \displaystyle Q=\pi B\,R^4.\n(b) \displaystyle V(r)=\frac{B\,R^4}{4\varepsilon_{0}\,r}, para r>R.\n(c) \displaystyle V(r)=\frac{B}{12\varepsilon_{0}}\,(4R^3-r^3), para r<R.

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