Uma esfera dielétrica possui uma carga total
. No interior da esfera existe uma distribuição de cargas volumétrica
, onde
é uma constante, e
é a distância variável de cada elemento de carga até o centro da esfera. Determine:
(a) a carga total
em função de
e
.
(b) O potencial para os pontos
.
(c) o potencial para os pontos no interior da esfera,
.
(a) a carga total
(b) O potencial para os pontos
(c) o potencial para os pontos no interior da esfera,
Passo 1
O enunciado diz que temos uma esfera de raio
com densidade volumétrica de carga
onde
é constante e
é a distância ao centro. Precisamos encontrar:
(a) a carga total em termos de
e
;
(b) o potencial elétrico para pontos externos (
);
(c) o potencial elétrico para pontos internos (
).
O conteúdo usado será eletrostática: definição de carga por integração, Lei de Gauss para obter e então integrar
para achar
.
(a) a carga total
(b) o potencial elétrico
(c) o potencial elétrico
O conteúdo usado será eletrostática: definição de carga por integração, Lei de Gauss para obter
Passo 2
Para achar a carga total usamos
Em coordenadas esféricas
, logo
Passo 3
Usamos a Lei de Gauss para obter o campo elétrico radial:
Para
, a carga interna é
,
logo
logo
Para
, toda a carga
está dentro, então
Passo 4
O potencial externo
(
) tomado nulo no infinito é
Passo 5
Para
, usamos continuidade de
em
e
Sabendo
e
, temos
Resposta
(a)
\n(b)
, para
.\n(c)
, para
.