No espaço limitado por duas superfícies planas paralelas (z=-a e z=+a) existe uma distribuição de carga rho=alpha z. Considere apenas pontos tais que a sua distância a qualquer um dos planos referidos é muito inferior à sua distância aos limites da distribuição de carga, de tal forma que podemos calcular o campo eléctrico fazendo a aproximação de que a distribuição de carga tem extensão infinita nas direcções x e y.
Mostre que o campo eléctrico no exterior é nulo.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma “lâmina” de carga volumétrica entre dois planos paralelos em z = −a e z = +a, com densidade ρ(z)=α z. A gente quer o campo elétrico lá fora (isto é, pra |z|>a) supondo que a distribuição é infinita em x e y.
Conteúdo: lei de Gauss em eletrostática. Vamos precisar de simetria (campo só varia em z) e calcular a carga total “presa” num cilindro ou caixa de Gauss.

Passo 2

Escolhendo a superfície de Gauss
Como a distribuição é infinita em x e y e só depende de z, o campo E também só aponta em z e só varia com z. Pra achar E fora, escolho uma “caixa” retangular ou um cilindro com base área A, altura cobrindo de z1> a até z2> a (ou simetricamente abaixo de −a). A ideia é que as faces laterais não contribuem (E ⟂ àquelas faces), e só ficam duas faces planas normais a z.

Passo 3

Calculando a carga “presa”
A carga total dentro dessa superfície (entre −a e +a) vale

Mas , porque é a área de um triângulo positivo e outro negativo do mesmo tamanho. Logo

Passo 4

Aplicando a lei de Gauss
A lei de Gauss diz

Como só as duas faces planas contribuem, cada uma com área A e campo E(z> a) apontando pra fora, temos

Mas , então

Resposta

O campo elétrico no exterior da região carregada (isto é, para |z|>a) é nulo:

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