No espaço limitado por duas superfícies planas paralelas
existe uma distribuição de carga
. Considere apenas pontos tais que a sua distância a qualquer um dos planos referidos é muito inferior à sua distância aos limites da distribuição de carga, de tal forma que podemos calcular o campo eléctrico fazendo a aproximação de que a distribuição de carga tem extensão infinita nas direcções
e
.
Determine o campo eléctrico em cada ponto no interior dos planos.
Determine o campo eléctrico em cada ponto no interior dos planos.
Passo 1
Beleza, amigo! O enunciado diz que entre duas placas infinitas paralelas em z = –a e z = +a existe uma densidade de carga volumétrica ρ(z) = α·z. A gente quer achar o campo elétrico E(z) em qualquer ponto do interior (ou seja, –a < z < +a), assumindo que em x e y é infinito (logo o campo só depende de z e é perpendicular às placas). O que vamos usar: a forma unidimensional da Lei de Gauss, que dá
Passo 2
Primeiro, escrevemos essa equação diferencial de Gauss em 1D:
Aqui ρ(z)=αz e ε₀ é a permissividade do vácuo. Isso significa que a variação do componente z do campo é proporcional a z.
Passo 3
Agora integramos em z para achar E_z(z).
onde C é uma constante de integração que a gente vai achar pelas condições de contorno.
Passo 4
A condição de contorno natural aqui é que fora do “sanduíche” de cargas (isto é, para |z| ≥ a) o campo deve ser zero, já que o total da carga do volume de –a até +a dá zero (integral ímpar). Como não tem carga além de z=±a, não rola campo lá fora, então
Substituindo na fórmula:
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Resposta
No interior das placas (–a<z<a) o campo é