No espaço limitado por duas superfícies planas paralelas (z=-a e z=+a) existe uma distribuição de carga rho=alpha z. Considere apenas pontos tais que a sua distância a qualquer um dos planos referidos é muito inferior à sua distância aos limites da distribuição de carga, de tal forma que podemos calcular o campo eléctrico fazendo a aproximação de que a distribuição de carga tem extensão infinita nas direcções x e y.
Determine o campo eléctrico em cada ponto no interior dos planos.

Passo 1

Beleza, amigo! O enunciado diz que entre duas placas infinitas paralelas em z = –a e z = +a existe uma densidade de carga volumétrica ρ(z) = α·z. A gente quer achar o campo elétrico E(z) em qualquer ponto do interior (ou seja, –a < z < +a), assumindo que em x e y é infinito (logo o campo só depende de z e é perpendicular às placas). O que vamos usar: a forma unidimensional da Lei de Gauss, que dá
dEzdz ;=;rho(z)varepsilon0,

Passo 2

Primeiro, escrevemos essa equação diferencial de Gauss em 1D:
dEzdz = alpha,zvarepsilon0,
Aqui ρ(z)=αz e ε₀ é a permissividade do vácuo. Isso significa que a variação do componente z do campo é proporcional a z.

Passo 3

Agora integramos em z para achar E_z(z).
Ez(z) ;=; integral alpha,zvarepsilon0,dz ;=;alphavarepsilon0,z^22 ;+; C ;equiv;alpha,z^22,varepsilon0 + C,
onde C é uma constante de integração que a gente vai achar pelas condições de contorno.

Passo 4

A condição de contorno natural aqui é que fora do “sanduíche” de cargas (isto é, para |z| ≥ a) o campo deve ser zero, já que o total da carga do volume de –a até +a dá zero (integral ímpar). Como não tem carga além de z=±a, não rola campo lá fora, então
Ezl(z = +ar) = 0
Substituindo na fórmula:
0 = alpha,a^22,varepsilon0 + C Longrightarrow C = -,alpha,a^22,varepsilon0
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Ez(z) = alpha,z^22,varepsilon0 ;-;alpha,a^22,varepsilon0 = alpha2,varepsilon0,l(z^2 - a^2r)

Resposta

No interior das placas (–a<z<a) o campo é
boxed% E(z) = alpha2,varepsilon0,l(z^2 - a^2r),z ,

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