A função vectorial A tem componentes
Ax=6 x y, Ay=3 x^2-3 y^2, Az=0
Calcule o integral de linha de A, do ponto (0,0,0) para o ponto (2,4,0), através do caminho mais curto. Repita o cálculo para um caminho parabólico. Tire conclusões.

Passo 1

Resumo do enunciado
Temos o campo vetorial
A(x,y,z)=l(Ax,Ay,Azr) =(6xy,;3x^2-3y^2,;0)
e queremos calcular a integral de linha
integralCAcdot dr
do ponto até
  1. pelo caminho mais curto (reta)
  2. por um caminho parabólico (por exemplo )
    e depois tirar conclusões.
Conteúdo da matéria
  • Integral de linha em campos vetoriais
  • Parametrização de curvas
  • Noções de campo conservativo e potencial
O que vamos precisar
  • Saber parametrizar cada curva
  • Conhecer a fórmula
  • Verificar, se quisermos, que o campo é conservativo

Passo 2

Cálculo pelo caminho mais curto (reta)
  1. Parametrização da reta de x(t)=2t, y(t)=4t, z(t)=0, tin[0,1] a r(t)=(2t,4t,0), dr=(2,4,0),dt :
    Ax=6,x,y=6,(2t)(4t)=48t^2, Ay=3x^2-3y^2=3(2t)^2-3(4t)^2=12t^2-48t^2=-36t^2, Az=0
    Então
    Acdot dr =(48t^2,, -36t^2,,0)cdot(2,4,0),dt =l(48t^2cdot2 +(-36t^2)cdot4r),dt =(96t^2 -144t^2),dt =-48t^2,dt
  2. Componentes do campo ao longo de integral0^1 -48t^2,dt =-48integral0^1 t^2,dt =-48cdot13 =-16 :
  3. Produto escalar :
  4. Integral de a :
Logo, pela reta o valor é .

Passo 3

Cálculo pelo caminho parabólico x(u)=u, y(u)=u^2, z(u)=0, uin[0,2]
  1. Parametrização de dr=(du,,2u,du,,0) de 0 a 2:
    Ax=6,u,u^2=6u^3, Ay=3u^2-3u^4, Az=0
    Então
    Acdot dr =(6u^3,,3u^2-3u^4,,0)cdot(1,2u,0),du =6u^3cdot1 + (3u^2-3u^4)cdot2u =6u^3 +6u^3-6u^5 =12u^3-6u^5
  2. Componentes do campo ao longo de integral0^2(12u^3-6u^5),du =l[3u^4 - u^6r]0^2 =l(3cdot16 -64r)-0 =48-64 =-16 :
  3. Produto escalar:
  4. Integral de a :
Também dá .

Passo 4

Conclusões
  • Os dois caminhos deram o mesmo resultado .
  • Isso acontece porque o campo é conservativo:

    e
    ,
    logo .
  • Num campo conservativo, a integral de linha depende só dos pontos finais.

Resposta

O valor da integral de linha, em ambos os casos, é
boxed-16

Exercícios relacionados