A função vectorial
tem componentes
Calcule o integral de linha de
, do ponto
para o ponto
, através do caminho mais curto. Repita o cálculo para um caminho parabólico. Tire conclusões.
Passo 1
Resumo do enunciado
Temos o campo vetorial
Temos o campo vetorial
e queremos calcular a integral de linha
do ponto
até
- pelo caminho mais curto (reta)
- por um caminho parabólico (por exemplo
)
e depois tirar conclusões.
Conteúdo da matéria
- Integral de linha em campos vetoriais
- Parametrização de curvas
- Noções de campo conservativo e potencial
O que vamos precisar
- Saber parametrizar cada curva
- Conhecer a fórmula
- Verificar, se quisermos, que o campo é conservativo
Passo 2
Cálculo pelo caminho mais curto (reta)
-
Parametrização da reta de
a : Então -
Componentes do campo ao longo de
: -
Produto escalar
: -
Integral de
a :
Logo, pela reta o valor é
.
Passo 3
Cálculo pelo caminho parabólico
-
Parametrização de
de 0 a 2: Então -
Componentes do campo ao longo de
: -
Produto escalar:
-
Integral de
a :
Também dá
.
Passo 4
Conclusões
- Os dois caminhos deram o mesmo resultado
. - Isso acontece porque o campo
é conservativo:
e
,
logo. - Num campo conservativo, a integral de linha depende só dos pontos finais.
Resposta
O valor da integral de linha, em ambos os casos, é