No espaço limitado por duas superfícies planas paralelas (z=-a e z=+a) existe uma distribuição de carga rho=alpha z. Considere apenas pontos tais que a sua distância a qualquer um dos planos referidos é muito inferior à sua distância aos limites da distribuição de carga, de tal forma que podemos calcular o campo eléctrico fazendo a aproximação de que a distribuição de carga tem extensão infinita nas direcções x e y.
Represente graficamente |E| e Ez em função de z.

Passo 1

Beleza, então o exercício diz o seguinte: temos um “tijolo” infinito nos eixos x e y, mas limitado em z entre z=−a e z=+a, cuja densidade de carga varia conforme ρ(z)=α·z. A gente quer saber como é o campo elétrico E(z) (tanto em módulo |E| quanto sua componente Ez) em função de z, usando a aproximação de que o slab é infinito em x, y.
Conteúdo: Lei de Gauss em eletrostática, simetria de um slab infinito. Vamos usar Gauss pra achar Ez de forma direta, e depois falar do módulo e esboçar os gráficos.

Passo 2

Primeiro, pela simetria, o campo só aponta na direção z e depende só de z. Escolhemos uma superfície gaussiana em forma de “disco cilíndrico” de área A, com faces paralelas ao plano xy: uma face fica em z (o ponto onde queremos E) e a outra em z=+a (ou z=−a, conforme o caso). A lateral não contribui porque o campo é perpendicular a ela.

Passo 3

Vamos tratar dois casos: (i) ponto dentro do slab, |z|<a; (ii) ponto fora, |z|>a.
Caso (i):  0≤z<a (para z<0 o raciocínio é análogo, trocando sinais).
– Fluxo pela face de cima (em z=+a) é zero, pois assumimos que fora do slab o campo some.
– Fluxo pela face em z é Φ=−E(z)·A (menos porque o vetor normal dessa face aponta para +z, mas o campo ali aponta para −z).
– Carga encerrada entre z e +a:
Q_enc = ∫_{z}^{a} ρ(z′) A dz′ = A·∫_{z}^{a} α z′ dz′ = A·α·(a²/2 − z²/2).
Pela Lei de Gauss:
Φ = Q_enc/ε₀ ⇒ −E(z)·A = αA (a²/2 − z²/2)/ε₀
⇒ E(z) = −α (a² − z²)/(2ε₀).
Para −a<z<0, fazendo a mesma conta com o cilindro de z até −a, chega-se a:
E(z) = α (z² − a²)/(2ε₀).
De modo unificado, para |z|<a:
E_z(z) = (α/(2 ε₀))·(z² − a²).

Passo 4

Caso (ii): para |z|>a
Todo o slab está dentro da superfície gaussiana, e como ρ(z) é função ímpar (ρ=αz) temos carga total nula:
Q_total = ∫_{−a}^{+a} αz dz = 0
Logo, E(z)=0 para |z|>a.

Passo 5

Resumo das fórmulas:
– Para |z|<a:
E(z) = E_z(z) ê_z = (α/(2ε₀))(z² − a²) ê_z
|E(z)| = α(a² − z²)/(2ε₀)
– Para |z|>a:
E(z) = 0
Graficamente:
  1. |E| vs. z é uma parábola voltada para baixo, nula em z=±a e máxima em z=0.
  2. E_z vs. z é a mesma parábola, mas negativa em todo |z|<a (pois z²−a²<0 lá) e zero fora.

Resposta

E_z(z)=
dfracα2ε₀(z²−a²),, & |z|a, ²²
|E(z)|= dfracα2ε₀(a²−z²),, & |z|a ²²
Gráficos:
– |E|: parábola aberta para baixo, pico em z=0, zeros em ±a.
– E_z: mesma forma, mas negativa dentro do slab e zero fora.

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