*18.21 Calcule a variação de entropia que ocorre quando misturamos 1,00 \mathrm{~kg} de água a 20,0^{\circ} \mathrm{C} com 2,00 \mathrm{~kg} de água a 80,0^{\circ} \mathrm{C}.

Passo 1

O enunciado pede a variação total de entropia quando misturamos duas quantidades de água com temperaturas diferentes. Dados fornecidos:
m_1=1,00\\ \mathrm{kg},\quad T_1=20,0^\circ\mathrm{C}
m_2=2,00\\ \mathrm{kg},\quad T_2=80,0^\circ\mathrm{C}
A pergunta é: qual é \Delta S_{\text{total}} da mistura (variação de entropia do sistema composto pelas duas porções de água)?

Passo 2

Primeiro precisamos achar a temperatura final de equilíbrio T_f. Usamos conservação de energia (calor perdido por uma parte = calor ganho pela outra). Para calor sensível com capacidade térmica específica constante c temos
m_1 c T_1 + m_2 c T_2 = (m_1+m_2) c T_f.
Como c é o mesmo para ambas as porções, ele cancela, e obtemos a média ponderada das temperaturas:
T_f=\frac{m_1 T_1 + m_2 T_2}{m_1+m_2}.
Substituindo os dados (aqui podemos usar graus Celsius diretamente porque é média aritmética):
T_f=\frac{1{,}00\cdot 20{,}0 + 2{,}00\cdot 80{,}0}{1{,}00+2{,}00}=\frac{20{,}0+160{,}0}{3{,}00}=60{,}0^\circ\mathrm{C}.
Convertendo para Kelvin (obrigatório para calcular logaritmos de temperaturas absolutas):
T_1=293{,}15\\ \mathrm{K},\quad T_2=353{,}15\\ \mathrm{K},\quad T_f=333{,}15\\ \mathrm{K}.

Passo 3

Agora a teoria da entropia: para uma massa m que é aquecida reversivelmente de \;T_i\; até \;T_f\; com capacidade calorífica específica constante c, a variação de entropia é
\Delta S = \int_{T_i}^{T_f}\frac{dQ_{\mathrm{rev}}}{T}=\int_{T_i}^{T_f}\frac{m c\,dT}{T}=m c \ln\!\left(\frac{T_f}{T_i}\right).
Aqui dQ_{\mathrm{rev}}=m c\,dT é o calor reversível trocado num pequeno aumento de temperatura dT, T é a temperatura absoluta no instante, m é a massa e c é a capacidade térmica específica (em J·kg{-1}·K{-1}).

Passo 4

Escolhemos c=4186\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}} (valor usual para água líquida). A variação total de entropia da mistura é soma das variações de cada porção:
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_1+\Delta S_2
\Delta S_1=m_1 c \ln\!\left(\frac{T_f}{T_1}\right),\quad \Delta S_2=m_2 c \ln\!\left(\frac{T_f}{T_2}\right).

Passo 5

Calculemos os logaritmos e os termos numéricos passo a passo.
Razões de temperaturas:
\frac{T_f}{T_1}=\frac{333{,}15}{293{,}15}\approx 1{,}13636,\qquad \frac{T_f}{T_2}=\frac{333{,}15}{353{,}15}\approx 0{,}94337.
Logaritmos naturais aproximados:
\ln\!\left(\frac{T_f}{T_1}\right)\approx 0{,}1279,\qquad \ln\!\left(\frac{T_f}{T_2}\right)\approx -0{,}0583.
Agora cada contribuição:
\Delta S_1 = 1{,}00\cdot 4186\cdot 0{,}1279 \approx 535{,}6\\ \mathrm{J/K},
\Delta S_2 = 2{,}00\cdot 4186\cdot(-0{,}0583) \approx -488{,}0\\ \mathrm{J/K}.

Passo 6

Somando as duas contribuições obtemos a variação total de entropia:
\Delta S_{\text{total}}=\Delta S_1+\Delta S_2\approx 535{,}6-488{,}0=47{,}6\\ \mathrm{J/K}.
O sinal positivo indica que a entropia do sistema aumentou (processo irreversível de mistura/ troca de calor espontânea).

Resposta

\Delta S_{\text{total}}\approx 47{,}6\\ \mathrm{J/K}

Exercícios relacionados