No espaço M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) das matrizes 2 \times 2 reais, determine se os vetores abaixo são linearmente dependentes
\left[\right],\left[\right],\left[\right]
Passo 1
O enunciado dá três matrizes em :
e pede para ver se elas são linearmente dependentes. Vamos usar a definição: são dependentes se existir combinação linear não trivial que dê a matriz zero.
Passo 2
Considere a combinação
onde é a matriz nula. Escrevendo entrada a entrada, obtemos o sistema
Passo 3
Do terceiro item vem alpha=0. Substituindo em alpha+gamma=0 dá gamma=0, e em alpha+beta=0 dá beta=0.
Passo 4
Só existe a solução trivial alpha=beta=gamma=0. Isso significa que não há combinação linear não trivial que anule as matrizes, logo elas são linearmente independentes.