No espaço M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) das matrizes 2 \times 2 reais, determine se os vetores abaixo são linearmente dependentes
\left[ ll1 & 1 1 & 1\right],\left[ ll1 & 0 0 & 1\right],\left[ ll1 & 1 0 & 0\right]

Passo 1

O enunciado dá três matrizes em M2times2(R):
A=1&11&1, B=1&00&1, C=1&10&0
e pede para ver se elas são linearmente dependentes. Vamos usar a definição: são dependentes se existir combinação linear não trivial que dê a matriz zero.

Passo 2

Considere a combinação
alpha A + beta B + gamma C = O,
onde O é a matriz nula. Escrevendo entrada a entrada, obtemos o sistema
alpha + beta + gamma = 0, &(posição (1,1)) alpha + 0beta + gamma = 0, &(posição (1,2)) alpha + 0beta + 0gamma = 0, &(posição (2,1)) alpha + beta + 0gamma = 0, &(posição (2,2)) çãçãçãçã

Passo 3

Do terceiro item vem alpha=0. Substituindo em alpha+gamma=0 gamma=0, e em alpha+beta=0 beta=0.

Passo 4

Só existe a solução trivial alpha=beta=gamma=0. Isso significa que não há combinação linear não trivial que anule as matrizes, logo elas são linearmente independentes.

Resposta

As matrizes são linearmente independentes.

Exercícios relacionados