No espaço M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) das matrizes 2 \times 2 reais, determine se os vetores abaixo são linearmente dependentes
\left[ ll1 & 2 3 & 1\right],\left[ cc3 & -1 2 & 2\right],\left[ cc1 & -5 -4 & 0\right]

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as matrizes
A = 1 & 2 3 & 1, B = 3 & -1 2 & 2, C = 1 & -5 -4 & 0
são linearmente dependentes em M2times2(R). Para isso, vamos tratá-las como vetores em R^4 e procurar coeficientes alpha,beta,gamma tais que
alpha A + beta B + gamma C = 0

Passo 2

Representando cada matriz como um vetor em R^4 pela ordem dos elementos, temos
Arightarrow(1,2,3,1), Brightarrow(3,-1,2,2), Crightarrow(1,-5,-4,0)
Então a combinação homogênea alpha A + beta B + gamma C = 0 gera o sistema em alpha,beta,gamma:

Passo 3

Escrevendo componente a componente:
alpha + 3beta + gamma = 0, 2alpha - beta - 5gamma = 0, 3alpha + 2beta - 4gamma = 0, alpha + 2beta + 0cdotgamma = 0

Passo 4

Do quarto item alpha + 2beta = 0 segue
alpha = -2beta
Substituindo em alpha + 3beta + gamma = 0 obtemos
-2beta + 3beta + gamma = 0 Longrightarrow gamma = -beta
As outras duas equações ficam automaticamente satisfeitas por essa relação, mostrando que há solução não trivial (por exemplo escolhendo beta=1).

Passo 5

Como existe solução não trivial (alpha,beta,gamma)=(-2,1,-1), concluímos que A,B,C são linearmente dependentes. Uma relação explícita é
-2A + B - C = 0

Resposta

As três matrizes são linearmente dependentes.

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