No espaço M_{2}(\mathbb{R})\), seja a base canônica \[B=\left\{E_{11}, E_{12}, E_{21}, E_{22}\right\}, \quad\left(E_{i j}\right)_{k l}= \begin{cases}1, & (k, l)=(i, j) \\\\ 0, & \text { caso contrário. }\end{cases}
Considere também
C=\left\{\left(\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\\\ -1 & 0 \end{array}\right),\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\\\ 0 & -1 \end{array}\right),\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right)\right\}
(a) Mostre que C\] é uma base de \(M_{2}(\mathbb{R}).
(b) Determine a matriz de mudança de base [I]_{C}^{B}.
(c) Escreva [A]_{C} para A=\left(\begin{array}{cc}2 & 3 \\\\ 1 & -1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado está em M_{2}(\mathbb{R}), cuja dimensão é 4, com base canônica
B=\{E_{11},E_{12},E_{21},E_{22}\}
e o conjunto
C=\Bigl\{\underbrace{\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}}_{C_1},\; \underbrace{\begin{pmatrix}0&1\\\ -1&0\end{pmatrix}}_{C_2},\; \underbrace{\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&-1\end{pmatrix}}_{C_3},\; \underbrace{\begin{pmatrix}0&1\\\ 1&0\end{pmatrix}}_{C_4}\Bigr\}.
Pede-se:
(a) mostrar que C é base de M_{2}(\mathbb{R}) (isto é, verificar independência linear ou que gera todo o espaço);
(b) encontrar a matriz de mudança de base [I]_{C}^{B};
(c) expressar as coordenadas de
A=\begin{pmatrix}2&3\\\ 1&-1\end{pmatrix}
na base C.

Passo 2

Para (a), mostramos que C é linearmente independente. Suponha
\alpha_1C_1+\alpha_2C_2+\alpha_3C_3+\alpha_4C_4=0_{2\times2}.
Escrevendo a combinação elemento a elemento, obtemos
\alpha_1+\alpha_3=0,\quad \alpha_2+\alpha_4=0,\quad -\alpha_2+\alpha_4=0,\quad \alpha_1-\alpha_3=0.
Das duas primeiras equações vem \alpha_4=-\alpha_2; da terceira, -\alpha_2+(-\alpha_2)=0 leva a \alpha_2=0 e então \alpha_4=0. Das duas últimas, \alpha_1-\alpha_3=0 e \alpha_1+\alpha_3=0 implicam \alpha_1=\alpha_3=0. Logo todos os \alpha_i são zero, provando independência. Como temos 4 vetores num espaço de dimensão 4, C é base.

Passo 3

Para (b), cada coluna de [I]_{C}^{B} são as coordenadas de C_j na base B. Escrevendo
C_1=E_{11}+E_{22}\;\longrightarrow\;(1,0,0,1),\quad C_2=E_{12}-E_{21}\;\longrightarrow\;(0,1,-1,0),
C_3=E_{11}-E_{22}\;\longrightarrow\;(1,0,0,-1),\quad C_4=E_{12}+E_{21}\;\longrightarrow\;(0,1,1,0),
temos
[I]_{C}^{B} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & -1 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para (c), escrevemos
A = a\,C_1 + b\,C_2 + c\,C_3 + d\,C_4 \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}2&3\\\ 1&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+c & b+d \\\\ -b+d & a-c\end{pmatrix}.
Comparando entradas, obtemos o sistema
a+c=2,\quad b+d=3,\quad -b+d=1,\quad a-c=-1.
Da soma a+c=2 com a-c=-1 vem 2a=1\Rightarrow a=\tfrac12, então c=2-\tfrac12=\tfrac32. Da soma b+d=3 com -b+d=1 vem 2d=4\Rightarrow d=2, então b=3-2=1.

Resposta

(a) C é independente em espaço de dimensão 4 e tem 4 vetores, logo é base de M_{2}(\mathbb{R}).
(b)
[I]_{C}^{B} =\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 1\\\\ 0 & -1 & 0 & 1\\\\ 1 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}.
(c)
[A]_{C} = \begin{pmatrix}a\b\c\d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac12\\[4pt]1\\[4pt]\tfrac32\\[4pt]2\end{pmatrix}.]

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