Pede-se:
(a) mostrar que C é base de M_{2}(\mathbb{R}) (isto é, verificar independência linear ou que gera todo o espaço);
(b) encontrar a matriz de mudança de base [I]_{C}^{B};
(c) expressar as coordenadas de
A=\begin{pmatrix}2&3\\\ 1&-1\end{pmatrix}
na base C.
Passo 2
Para (a), mostramos que C é linearmente independente. Suponha
Das duas primeiras equações vem \alpha_4=-\alpha_2; da terceira, -\alpha_2+(-\alpha_2)=0 leva a \alpha_2=0 e então \alpha_4=0. Das duas últimas, \alpha_1-\alpha_3=0 e \alpha_1+\alpha_3=0 implicam \alpha_1=\alpha_3=0. Logo todos os \alpha_i são zero, provando independência. Como temos 4 vetores num espaço de dimensão 4, C é base.
Passo 3
Para (b), cada coluna de [I]_{C}^{B} são as coordenadas de C_j na base B. Escrevendo