Verifique se as aplicações abaixo são ou não transformações lineares:
T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{4}, T(x, y, z, t)=(x-t, y-t, z-t, t)

Passo 1

O enunciado define a aplicação
T\colon \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4},\quad T(x,y,z,t)=(x-t,\;y-t,\;z-t,\;t)
e pergunta se T é linear. Para isso vamos verificar que, para todo u,v\in\mathbb{R}^4 e todo escalar \lambda, valem
  1. T(u+v)=T(u)+T(v) (aditividade)
  2. T(\lambda u)=\lambda\,T(u) (homogeneidade)
    e também checar que T(0)=0.

Passo 2

Verificamos primeiro o comportamento em 0=(0,0,0,0):
T(0,0,0,0)=(0-0,\;0-0,\;0-0,\;0)=(0,0,0,0),
logo T(0)=0, condição necessária para linearidade.

Passo 3

Sejam u=(x_1,y_1,z_1,t_1) e v=(x_2,y_2,z_2,t_2). Então
u+v=(x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2,\;t_1+t_2)
e
T(u+v)=\bigl((x_1+x_2)-(t_1+t_2),\,(y_1+y_2)-(t_1+t_2),\,(z_1+z_2)-(t_1+t_2),\,t_1+t_2\bigr).
Por outro lado,
T(u)+T(v) =\bigl(x_1-t_1,\;y_1-t_1,\;z_1-t_1,\;t_1\bigr) +\bigl(x_2-t_2,\;y_2-t_2,\;z_2-t_2,\;t_2\bigr)
=\bigl(x_1+x_2-(t_1+t_2),\;y_1+y_2-(t_1+t_2),\;z_1+z_2-(t_1+t_2),\;t_1+t_2\bigr).
Isso mostra que T(u+v)=T(u)+T(v).

Passo 4

Seja \lambda\in\mathbb{R} e u=(x,y,z,t). Então
\lambda u=(\lambda x,\;\lambda y,\;\lambda z,\;\lambda t)
e
T(\lambda u) =\bigl(\lambda x-\lambda t,\;\lambda y-\lambda t,\;\lambda z-\lambda t,\;\lambda t\bigr) =(\lambda(x-t),\;\lambda(y-t),\;\lambda(z-t),\;\lambda t)
=\lambda\,(x-t,\;y-t,\;z-t,\;t) =\lambda\,T(u).
Assim T preserva multiplicação por escalar.

Resposta

A aplicação T é linear.

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