Em P_{3}(\mathbb{R}), considere
B=\left\{1, x, x^{2}, x^{3}\right\}, \quad C=\left\{1-x, 1+x, x^{2}-x^{3}, x^{3}\right\}
(a) Encontre a matriz de mudança de base [I]_{C}^{B}.
(b) Se p(x)=2+x+x^{2}, determine [p]_{C}.

Passo 1

O enunciado está em P_{3}(\mathbb{R}) e pede duas coisas:
  1. A matriz de mudança de base [I]_{C}^{B}, que leva coordenadas em C para coordenadas em B.
  2. As coordenadas de p(x)=2+x+x^{2} na base C.
    Para isso, vamos usar que as colunas de [I]_{C}^{B} são justamente as coordenadas, em B, dos vetores de C, e em seguida resolver uma combinação linear para p.

Passo 2

Expressar cada vetor de C em coordenadas na base B=\{1,x,x^{2},x^{3}\}:
1 - x = 1\cdot 1 + (-1)\cdot x + 0\cdot x^2 + 0\cdot x^3 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}_{B},
1 + x = 1\cdot 1 + 1\cdot x + 0\cdot x^2 + 0\cdot x^3 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}_{B},
x^{2}-x^{3} = 0\cdot 1 + 0\cdot x + 1\cdot x^2 + (-1)\cdot x^3 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix}_{B},
x^{3} = 0\cdot 1 + 0\cdot x + 0\cdot x^2 + 1\cdot x^3 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}_{B}.

Passo 3

Montar [I]_{C}^{B} usando essas colunas, na ordem dos vetores de C:
[I]_{C}^{B} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para achar [p]_{C}, escrevemos
p(x)=2+x+x^{2}=a\,(1-x)+b\,(1+x)+c\,(x^{2}-x^{3})+d\,(x^{3}).
Isso gera, ao agrupar termos,
(a+b)+(-a+b)\,x + c\,x^{2} + (d-c)\,x^{3} = 2 + 1\,x + 1\,x^{2} + 0\,x^{3}.
Igualando coeficientes:
\begin{cases} a+b=2,\\\\ -b+a= -(-a+b)=1\quad\Longrightarrow\;-a+b=1,\\\ c=1,\\\ d-c=0\quad\Longrightarrow\;d=1. \end{cases}
Das duas primeiras equações vem
2b = (a+b)+(-a+b)=2+1=3 \quad\Longrightarrow\quad b=\tfrac{3}{2}, \quad a=2-b=\tfrac{1}{2}.
Logo
[p]_{C} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2}\\[6pt] \tfrac{3}{2}\\[6pt] 1\\[3pt] 1 \end{pmatrix}.]

Resposta

a)
[I]_{C}^{B} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0\\\\ -1 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
b)
[p]_{C} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2}\\\ \tfrac{3}{2}\\\\ 1\\\\ 1 \end{pmatrix}.

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