(a) Encontre a matriz de mudança de base [I]_{C}^{B}.
(b) Se p(x)=2+x+x^{2}, determine [p]_{C}.
Passo 1
O enunciado está em P_{3}(\mathbb{R}) e pede duas coisas:
A matriz de mudança de base [I]_{C}^{B}, que leva coordenadas em C para coordenadas em B.
As coordenadas de p(x)=2+x+x^{2} na base C.
Para isso, vamos usar que as colunas de [I]_{C}^{B} são justamente as coordenadas, em B, dos vetores de C, e em seguida resolver uma combinação linear para p.
Passo 2
Expressar cada vetor de C em coordenadas na base B=\{1,x,x^{2},x^{3}\}:
1 - x = 1\cdot 1 + (-1)\cdot x + 0\cdot x^2 + 0\cdot x^3 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}_{B},
1 + x = 1\cdot 1 + 1\cdot x + 0\cdot x^2 + 0\cdot x^3 \quad\Longrightarrow\quad \begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}_{B},