1. Mudança de Base: Em \mathbb{R}^{3}, sejam B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} e A=\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\}. Encontre [I]_{B}^{A} e [I]_{A}^{B}. Verifique [\mathbf{v}]_{A}=[I]_{B}^{A}[\mathbf{v}]_{B} para \mathbf{v}=(3,-1,2).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as matrizes de mudança de base da base padrão
\,B=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}
para a base
\,A=\{u_{1},u_{2},u_{3}\}
e vice-versa, onde
u_{1}=(1,1,0),\quad u_{2}=(0,1,1),\quad u_{3}=(1,0,1).
O conteúdo é mudança de base em \mathbb{R}^3. Vamos primeiro montar
[I]_{A}^{B}, cujas colunas são as coordenadas de u_j na base padrão, e depois inverter essa matriz para obter [I]_{B}^{A}. Por fim, verificamos a relação
\bigl[v\bigr]_{A}=[I]_{B}^{A}\bigl[v\bigr]_{B} para v=(3,-1,2).

Passo 2

Matriz de identidade de A para B: as colunas são [u_{1}]_{B},[u_{2}]_{B},[u_{3}]_{B}. Logo
[I]_{A}^{B} =\begin{pmatrix} 1&0&1\\\\ 1&1&0\\\\ 0&1&1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Para achar [I]_{B}^{A}=\bigl([I]_{A}^{B}\bigr)^{-1}, calculemos o determinante e a matriz adjunta de
P=[I]_{A}^{B} =\begin{pmatrix} 1&0&1\\\\ 1&1&0\\\\ 0&1&1 \end{pmatrix}.
O determinante é \det P=2. A matriz de cofatores (transposta na adjunta) dá
\operatorname{adj}(P) = \begin{pmatrix} 1&1&-1\\\\ -1&1&1\\\\ 1&-1&1 \end{pmatrix},
portanto
[I]_{B}^{A} =P^{-1} =\frac1{2}\begin{pmatrix} 1&1&-1\\\\ -1&1&1\\\\ 1&-1&1 \end{pmatrix}.

Passo 4

Verificação para v=(3,-1,2). Na base padrão, \bigl[v\bigr]_{B}=(3,-1,2). Então
[I]_{B}^{A}\bigl[v\bigr]_{B} =\frac1{2} \begin{pmatrix} 1&1&-1\\\\ -1&1&1\\\\ 1&-1&1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}3\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ 3\end{pmatrix}.
Resolvendo diretamente o sistema a\,u_{1}+b\,u_{2}+c\,u_{3}=(3,-1,2) também obtemos (a,b,c)=(0,-1,3). Logo
\bigl[v\bigr]_{A}=(0,-1,3), como esperado.

Resposta

[I]_{B}^{A}=\displaystyle\frac1{2}\begin{pmatrix} 1&1&-1\\\\ -1&1&1\\\\ 1&-1&1 \end{pmatrix}
[I]_{A}^{B}=\displaystyle\begin{pmatrix} 1&0&1\\\\ 1&1&0\\\\ 0&1&1 \end{pmatrix}
Verificou-se que
\bigl[v\bigr]_{A}=[I]_{B}^{A}\bigl[v\bigr]_{B}=(0,-1,3).

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