Mudança de Base: Em \mathbb{R}^{3}, sejam B=\{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\} e A=\{(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)\}. Encontre [I]_{B}^{A} e [I]_{A}^{B}. Verifique [\mathbf{v}]_{A}=[I]_{B}^{A}[\mathbf{v}]_{B} para \mathbf{v}=(3,-1,2).
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as matrizes de mudança de base da base padrão \,B=\{e_{1},e_{2},e_{3}\}
para a base \,A=\{u_{1},u_{2},u_{3}\}
e vice-versa, onde
O conteúdo é mudança de base em \mathbb{R}^3. Vamos primeiro montar [I]_{A}^{B}, cujas colunas são as coordenadas de u_j na base padrão, e depois inverter essa matriz para obter [I]_{B}^{A}. Por fim, verificamos a relação \bigl[v\bigr]_{A}=[I]_{B}^{A}\bigl[v\bigr]_{B} para v=(3,-1,2).
Passo 2
Matriz de identidade de A para B: as colunas são [u_{1}]_{B},[u_{2}]_{B},[u_{3}]_{B}. Logo