Um espaço métrico M se diz homogêneo se para quaisquer a, b \in M existe um homeomorfismo f: M \longrightarrow M tal que f(a)=b.
Mostre que um espaço vetorial normado \mathbf{E} é homoŗêneo.

Passo 1

O enunciado dá um espaço vetorial normado \mathbf{E} (ou seja, \mathbf{E} é um espaço vetorial equipado com uma norma \|\cdot\|) e pede para mostrar que \mathbf{E} é homogêneo.\n
Informações relevantes fornecidas:
  • Temos a norma \|\cdot\| em \mathbf{E}.
  • A métrica natural em \mathbf{E} é d(x,y)=\|x-y\| para x,y\in\mathbf{E}.\n
    O que é pedido:
  • Para quaisquer a,b\in\mathbf{E}, construir um homeomorfismo f:\mathbf{E}\longrightarrow\mathbf{E} tal que f(a)=b. Em outras palavras, mostrar que existe uma bijeção contínua com inversa contínua que leva a em b.

Passo 2

Proponho uma transformação simples e natural: a tradução por um vetor fixo. Defina v=b-a e considere a aplicação
f:\mathbf{E}\longrightarrow\mathbf{E},\qquad f(x)=x+v.
Aqui v é o vetor que “leva” a até b. Antes de provar que f é um homeomorfismo, vamos checar imediatamente que ela realmente envia a em b.

Passo 3

Verificação de valor em a: calcule
f(a)=a+v=a+(b-a)=b.
Pronto: a construção satisfaz a condição f(a)=b. Agora precisamos mostrar que f é bijetora e que tanto f quanto sua inversa são contínuas.

Passo 4

Mostrar que f é bijetora (injetora e sobrejetora) e apresentar a inversa.\n
  • Injetividade: se f(x_1)=f(x_2) então x_1+v=x_2+v. Subtraindo v de ambos os lados obtemos x_1=x_2. Logo f é injetora.\n
  • Sobrejetividade: dado qualquer y\in\mathbf{E}, tomemos x=y-v. Então f(x)=x+v=(y-v)+v=y. Assim todo y tem um pré-imagem, então f é sobrejetora.\n
    Portanto f é bijeção. A inversa explícita é a tradução por -v:
f^{-1}:\mathbf{E}\longrightarrow\mathbf{E},\qquad f^{-1}(y)=y-v.

Passo 5

Mostrar que f é contínua usando a propriedade de isometria (ou Lipschitz).\n
Para quaisquer x,y\in\mathbf{E},
d\big(f(x),f(y)\big)=\|f(x)-f(y)\|=\|(x+v)-(y+v)\|=\|x-y\|=d(x,y).
Ou seja, f preserva distâncias: é uma isometria. Uma função que preserva distâncias é, em particular, contínua (mesmo uniformemente contínua e Lipschitz com constante 1). Portanto f é contínua.

Passo 6

Mostrar que f^{-1} é contínua.\n
A mesma conta feita para f vale para f^{-1}, porque f^{-1} também é tradução:
d\big(f^{-1}(u),f^{-1}(w)\big)=\|(u-v)-(w-v)\|=\|u-w\|=d(u,w).
Logo f^{-1} também é isometria e, portanto, contínua. Assim f é uma bijeção contínua com inversa contínua, isto é, um homeomorfismo.

Passo 7

Conclusão final e comentário didático.\n
Para quaisquer a,b\in\mathbf{E} a tradução f(x)=x+(b-a) é um homeomorfismo de \mathbf{E} sobre \mathbf{E} e satisfaz f(a)=b. Portanto \mathbf{E} é homogêneo.\n
Comentário amigo: intuitivamente, em qualquer espaço vetorial com norma você pode “pegar” todo o espaço e deslocá-lo sem distorcer nada — isso é a tradução — por isso todo ponto “parece igual” topologicamente, o que é exatamente a homogeneidade.

Resposta

Para quaisquer a,b\in\mathbf{E} a aplicação f:\mathbf{E}\to\mathbf{E} dada por f(x)=x+(b-a) é um homeomorfismo e satisfaz f(a)=b. Portanto \mathbf{E} é homogêneo.

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