Um espaço métrico
se diz homogêneo se para quaisquer
existe um homeomorfismo
tal que
.
Mostre que um espaço vetorial normado
é homoŗêneo.
Mostre que um espaço vetorial normado
Passo 1
O enunciado dá um espaço vetorial normado
(ou seja,
é um espaço vetorial equipado com uma norma
) e pede para mostrar que
é homogêneo.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Temos a norma
em . - A métrica natural em
é para .\n
O que é pedido: - Para quaisquer
, construir um homeomorfismo tal que . Em outras palavras, mostrar que existe uma bijeção contínua com inversa contínua que leva em .
Passo 2
Proponho uma transformação simples e natural: a tradução por um vetor fixo. Defina
e considere a aplicação
Aqui
é o vetor que “leva”
até
. Antes de provar que
é um homeomorfismo, vamos checar imediatamente que ela realmente envia
em
.
Passo 3
Verificação de valor em
: calcule
Pronto: a construção satisfaz a condição
. Agora precisamos mostrar que
é bijetora e que tanto
quanto sua inversa são contínuas.
Passo 4
Mostrar que
é bijetora (injetora e sobrejetora) e apresentar a inversa.\n
- Injetividade: se
então . Subtraindo de ambos os lados obtemos . Logo é injetora.\n - Sobrejetividade: dado qualquer
, tomemos . Então . Assim todo tem um pré-imagem, então é sobrejetora.\n
Portantoé bijeção. A inversa explícita é a tradução por :
Passo 5
Mostrar que
é contínua usando a propriedade de isometria (ou Lipschitz).\n
Para quaisquer ,
Para quaisquer
Ou seja,
preserva distâncias: é uma isometria. Uma função que preserva distâncias é, em particular, contínua (mesmo uniformemente contínua e Lipschitz com constante
). Portanto
é contínua.
Passo 6
Mostrar que
é contínua.\n
A mesma conta feita para vale para
, porque
também é tradução:
A mesma conta feita para
Logo
também é isometria e, portanto, contínua. Assim
é uma bijeção contínua com inversa contínua, isto é, um homeomorfismo.
Passo 7
Conclusão final e comentário didático.\n
Para quaisquer a tradução
é um homeomorfismo de
sobre
e satisfaz
. Portanto
é homogêneo.\n
Comentário amigo: intuitivamente, em qualquer espaço vetorial com norma você pode “pegar” todo o espaço e deslocá-lo sem distorcer nada — isso é a tradução — por isso todo ponto “parece igual” topologicamente, o que é exatamente a homogeneidade.
Para quaisquer
Comentário amigo: intuitivamente, em qualquer espaço vetorial com norma você pode “pegar” todo o espaço e deslocá-lo sem distorcer nada — isso é a tradução — por isso todo ponto “parece igual” topologicamente, o que é exatamente a homogeneidade.
Resposta
Para quaisquer
a aplicação
dada por
é um homeomorfismo e satisfaz
. Portanto
é homogêneo.