a) No espaço profundo entre as galáxias, a densidade dos átomos é tão baixa quanto 10^{6} átomos / \mathrm{m}^{3}, e a temperatura é de gélidos 2,7 \mathrm{~K}. Qual é a pressão?
b) Que volume ( \mathrm{em} \mathrm{m}^{3} ) é ocupado por 1 mol de gás?
c) Se esse volume for um cubo, qual é o comprimento de seus lados em quilômetros?
a) 3,7 \times 10^{-17} \mathrm{~Pa};
b) 6,0 \times 10^{17} \mathrm{~m}^{3};
c) 844 km

Passo 1

O enunciado pede três coisas e nos dá estes dados:
  • Parte (a): calcular a pressão no espaço profundo, dado que a densidade é de 10^{6} átomos/ \mathrm{m}^{3} e a temperatura é 2{,}7\\ \mathrm{K}.
  • Parte (b): calcular o volume (em \mathrm{m}^{3}) ocupado por 1 mol de gás nas mesmas condições.
  • Parte (c): se esse volume for um cubo, calcular o comprimento do lado em quilômetros.
Informações fornecidas (peguei todas do enunciado):
  • Número de átomos por volume: \displaystyle n_{\text{átomos}} = 10^{6}\\ \text{átomos}/\mathrm{m}^{3}áá.
  • Temperatura: \displaystyle T = 2{,}7\\ \mathrm{K}.
Vou usar constantes físicas padrão:
  • Constante dos gases ideais: \displaystyle R = 8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}}.
  • Constante de Avogadro: \displaystyle N_A = 6{,}02214076\times10^{23}\\ \text{átomos/mol}á.

Passo 2

Conceito e fórmulas que vamos usar (explicando cada termo):
  • Lei dos gases ideais na forma \displaystyle pV = nRT.
    • \displaystyle p é a pressão em pascal ( \mathrm{Pa}).
    • \displaystyle V é o volume em metros cúbicos ( \mathrm{m}^{3}).
    • \displaystyle n é o número de mols.
    • \displaystyle R é a constante dos gases ideais (valor e unidades acima).
    • \displaystyle T é a temperatura em kelvin ( \mathrm{K}).
Duas formas úteis para este problema:
  • Usando densidade de mols (mols por volume): \displaystyle p = \left(\frac{n}{V}\right) R T. Aqui \dfrac{n}{V} é a densidade de mols em \mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3}.
  • Alternativa (equivalente): usar a densidade de partículas e a constante de Boltzmann \displaystyle p = n_{\text{partículas}}\,k_B\,Tí, com \displaystyle k_B = \dfrac{R}{N_A}. Vou usar a primeira forma, convertendo átomos \to mols.
Passo necessário: converter \displaystyle n_{\text{átomos}} = 10^{6}\\ \text{átomos}/\mathrm{m}^{3}áá em densidade de mols \displaystyle \dfrac{n}{V} usando Avogadro:
\frac{n}{V} \;=\; \frac{n_{\text{átomos}}}{N_A}.á

Passo 3

Cálculo da densidade de mols:
\frac{n}{V} \;=\; \frac{10^{6}}{6{,}02214076\times10^{23}}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3}.
Faço a divisão em potências de 10 e mantissa:
\frac{n}{V} \approx 1{,}6605\times10^{-18}\\ \mathrm{mol}/\mathrm{m}^{3}.
(Explicando o número: \dfrac{10^{6}}{6{,}022\!\times\!10^{23}} = \dfrac{1}{6{,}022}\times10^{-17}\approx0{,}16605\times10^{-17}=1{,}6605\times10^{-18}.)
Agora aplico a lei dos gases na forma \displaystyle p = \left(\dfrac{n}{V}\right) R T:
p \;=\; \left(1{,}6605\times10^{-18}\right)\times\left(8{,}314462618\right)\times\left(2{,}7\right)\\ \mathrm{Pa}.
Calculo por partes: \displaystyle R T = 8{,}314462618\times2{,}7 \approx 22{,}44954902\\ \mathrm{J/mol}.
Então
p \approx 1{,}6605\times10^{-18}\times22{,}44954902 \approx 3{,}7277\times10^{-17}\\ \mathrm{Pa}.
Arredondando de forma razoável: \displaystyle p \approx 3{,}7\times10^{-17}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 4

Parte (b): volume ocupado por 1 mol nas mesmas condições.
Usando \displaystyle pV = nRT com n=1 mol, isolamos V:
V \;=\; \frac{nRT}{p} \;=\; \frac{R T}{p}.
Substituindo os valores calculados:
V \;=\; \frac{8{,}314462618\times2{,}7}{3{,}7277\times10^{-17}}\\ \mathrm{m}^{3}.
Já calculamos R T \approx 22{,}44954902. Logo
V \approx \frac{22{,}44954902}{3{,}7277\times10^{-17}} \approx 6{,}0223\times10^{17}\\ \mathrm{m}^{3}.
Arredondando: \displaystyle V \approx 6{,}0\times10^{17}\\ \mathrm{m}^{3}.

Passo 5

Parte (c): se esse volume for um cubo, calcular o comprimento do lado L.
Relação entre volume e aresta:
L = V^{1/3}.
Usando V \approx 6{,}0223\times10^{17}\\ \mathrm{m}^{3}, escrevo a raiz cúbica separando mantissa e potência:
L = \left(6{,}0223\right)^{1/3}\times10^{17/3}\\ \mathrm{m}.
Cálculos:
\left(6{,}0223\right)^{1/3} \approx 1{,}817, \qquad 10^{17/3} = 10^{5}\times10^{2/3} \approx 10^{5}\times4{,}6415888 \approx 4{,}6415888\times10^{5}.
Multiplicando:
L \approx 1{,}817\times4{,}6415888\times10^{5}\\ \mathrm{m} \approx 8{,}440\times10^{5}\\ \mathrm{m}.
Convertendo para quilômetros:
L \approx \frac{8{,}440\times10^{5}\\ \mathrm{m}}{1000} = 844\\ \mathrm{km}.
Breve comentário de incentivo: é curioso — e um pouco chocante — que 1 mol de gás tão rarefeito ocupe um cubo com aresta da ordem de centenas de quilômetros! Isso mostra como o espaço intergaláctico é extremamente vazio.

Resposta

a) 3{,}7\times10^{-17}\\ \mathrm{Pa}\n
b) 6{,}0\times10^{17}\\ \mathrm{m}^{3}\n
c) 844\\ \mathrm{km}

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