No espaço R^2 com produto interno usual, utilize o processo de ortonormalização de GramSchmidt para obter uma base ortonormal partindo dos vetores u1=(1,1) e u2=(1,2).

Passo 1

No R^2 com produto interno usual, aplicaremos o processo de Gram–Schmidt aos vetores
boldsymbol u1=(1,1) e boldsymbol u2=(1,2)
para obter uma base ortonormal. Vamos precisar calcular normas, projeções e normalizar vetores.

Passo 2

Primeiro normalizamos boldsymbol u1. A norma é
|boldsymbol u1| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2
Portanto,
boldsymbol e1 = boldsymbol u1|boldsymbol u1| = l(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r)

Passo 3

Agora tiramos de boldsymbol u2 a projeção em boldsymbol e1 para obter um vetor ortogonal a boldsymbol e1:
lang<= boldsymbol u2,boldsymbol e1rang<= = 1cdottfrac1raiz2 + 2cdottfrac1raiz2 = 3raiz2
Logo
boldsymbol v2 = boldsymbol u2 - lang<= boldsymbol u2,boldsymbol e1rang<=,boldsymbol e1 = (1,2) - 3raiz2l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r) = l(-tfrac12,tfrac12r)

Passo 4

Por fim normalizamos boldsymbol v2. A norma é
|boldsymbol v2| = raizl(-tfrac12r)^2 + l(tfrac12r)^2 = raiztfrac12 = 1raiz2
Assim
boldsymbol e2 = boldsymbol v2|boldsymbol v2| = l(-tfrac12,tfrac12r)1/raiz2 = l(-tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r)

Resposta

A base ortonormal resultante é
boldsymbol e1 = l(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r), boldsymbol e2 = l(-tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2r)

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