Mostre que a base canônica de R^3 é ortonormal em relação ao produto interno usual, mas não é ortonormal em relação ao produto interno da questão 1(d).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas:
  1. Que a base canônica
B = e1=(1,0,0),;e2=(0,1,0),;e3=(0,0,1)
é ortonormal em relação ao produto interno usual em R^3.
2) Que essa mesma base não é ortonormal em relação ao produto interno definido na questão 1(d).
Para completar a segunda parte precisamos da definição exata do produto interno daquela questão 1(d). Sem essa definição não há como verificar ortogonalidade nem normalização.

Passo 2

No produto interno usual, definido por
lang<= x,yrang<= = x1y1 + x2y2 + x3y3,
vemos imediatamente que
lang<= ei,ejrang<= = 1, & i=j, 0, & ineq j
Isso mostra que a base B é ortonormal em relação ao produto interno usual.

Passo 3

Para a segunda parte, precisamos do enunciado da questão 1(d), isto é, da fórmula exata do novo produto interno
lang<= x,yrang<=(d).
Sem essa fórmula não podemos calcular
lang<= ei,ejrang<=(d)
e, portanto, não há como concluir se B é ou não ortonormal nesse caso.

Resposta

Não é possível verificar a ortonormalidade em relação ao produto interno da questão 1(d) porque a sua definição não foi fornecida. Por favor, envie a fórmula desse produto interno para que possamos completar a demonstração.

Exercícios relacionados