Seja M2 times 2(R) o espaço vetorial das matrizes 2 times 2 reais com o produto interno dado por
lang<= A, Brang<==Tr(B^T A)
onde Tr(A) é o traço da matriz A e B^T é a transposta da matriz B.
(a) Obtenha uma expressão para lang<=(lla11 & a12 a21 & a22),(llb11 & b12 b21 & b22)rang<=
(b) Mostre que a base canônica desse espaço, B=(ll1 & 0 0 & 0),(ll0 & 1 0 & 0),(ll0 & 0 1 & 0),(ll0 & 0 0 & 1), é ortonormal.

Passo 1

O enunciado fala do espaço vetorial das matrizes com o produto interno
Parte (a) pede a expressão desse produto interno em termos das entradas
de e de .
Parte (b) solicita mostrar que a base canônica
é ortonormal para esse produto interno.

Passo 2

Se
então
e
O traço é a soma dos elementos da diagonal, logo

Passo 3

Para ver que cada Eij tem norma unitária, calcule
lang<= Eij,Eijrang<= =sump,q(Eij)pq(Eij)pq =1
pois Eij tem exatamente um elemento igual a 1 e os demais 0.

Passo 4

Para Eijneq Ekl temos
lang<= Eij,Eklrang<= =sump,q(Eij)pq(Ekl)pq =0,
pois as posições de 1 nas duas matrizes não coincidem. Isso mostra ortogonalidade.

Resposta

(a) lang<= A,Brang<= =a11b11+a12b12+a21b21+a22b22
(b) A base canônica E11,E12,E21,E22 é ortonormal pois
lang<= Eij,Eijrang<==1 e lang<= Eij,Eklrang<==0 para (i,j)neq(k,l).

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