Seja o espaço vetorial das matrizes reais com o produto interno dado por
onde é o traço da matriz A e é a transposta da matriz .
(a) Obtenha uma expressão para
(b) Mostre que a base canônica desse espaço, , é ortonormal.
Passo 1
O enunciado fala do espaço vetorial das matrizes com o produto interno
Parte (a) pede a expressão desse produto interno em termos das entradas de e de .
Parte (b) solicita mostrar que a base canônica
é ortonormal para esse produto interno.
Passo 2
Se
então
e
O traço é a soma dos elementos da diagonal, logo
Passo 3
Para ver que cada Eij tem norma unitária, calcule
lang<= Eij,Eijrang<= =sump,q(Eij)pq(Eij)pq =1
pois Eij tem exatamente um elemento igual a 1 e os demais 0.
Passo 4
Para Eijneq Ekl temos
lang<= Eij,Eklrang<= =sump,q(Eij)pq(Ekl)pq =0,
pois as posições de 1 nas duas matrizes não coincidem. Isso mostra ortogonalidade.
Resposta
(a) lang<= A,Brang<= =a11b11+a12b12+a21b21+a22b22
(b) A base canônica E11,E12,E21,E22 é ortonormal pois lang<= Eij,Eijrang<==1 e lang<= Eij,Eklrang<==0 para (i,j)neq(k,l).