Seja V um espaço vetorial sobre K. Uma transformação f: V times V times cdots times V K é chamada forma multilinear (ou m-linear) em V se f é linear em cada variável, isto é, para i=1, cdots, m,
f(cdots, a u+b v, cdots)=a f(cdots, u, cdots)+b f(cdots, v, cdots),
onde u e v estão na i-ésima componente de f e as outras componentes são mantidas fixas. Uma forma m-linear f é chamada alternada se
f(v1, cdots, vm)=0, sempre que vi=vk, i neq k
Demonstre:
O conjunto Bm(V) de formas m-lineares em V é um subespaço do espaço vetorial das funções V times V times cdots times V em K.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
,Bm(V)=fcolon V^mtoKmid f é mu<ilinearé
é subespaço do espaço vetorial
F=gcolon V^mtoK
com operações definidas ponto a ponto:
(f+g)(v1,dots,vm)=f(v1,dots,vm)+g(v1,dots,vm) e
(lambda f)(v1,dots,vm)=lambda,f(v1,dots,vm).
Para isso, vamos usar a definição de subespaço: é preciso verificar que
(1) o zero de F está em Bm(V),
(2) a soma de duas formas multilineares é multilinear, e
(3) o múltiplo escalar de uma forma multilinear é multilinear.

Passo 2

Definimos a função zero
0(v1,dots,vm)=0K
para todo (v1,dots,vm)in V^m. Se fixamos todas as variáveis, exceto a i-ésima, e escrevemos na i-ésima a combinação a,u+b,w, então
0(dots,a,u+b,w,dots) =0K =acdot 0K+bcdot 0K =a,0(dots,u,dots)+b,0(dots,w,dots)
Logo, 0 satisfaz a condição de linearidade em cada argumento e pertence a Bm(V).

Passo 3

Sejam f,gin Bm(V). Vamos provar que f+g é multilinear. Fixe iin1,dots,m e todas as componentes exceto a i-ésima. Para vetores u,win V e escalares a,binK,
(f+g)(dots,a,u+b,w,dots) =f(dots,a,u+b,w,dots)+g(dots,a,u+b,w,dots)
Como f e g são lineares na i-ésima variável, isto vale
= l(a,f(dots,u,dots)+b,f(dots,w,dots)r) + l(a,g(dots,u,dots)+b,g(dots,w,dots)r)
= al(f(dots,u,dots)+g(dots,u,dots)r) + bl(f(dots,w,dots)+g(dots,w,dots)r)
= a,(f+g)(dots,u,dots)+b,(f+g)(dots,w,dots)
Isso mostra a linearidade na i-ésima variável, e como i era arbitrário, f+gin Bm(V).

Passo 4

Seja lambdainK e fin Bm(V). Para ver que lambda f é multilinear, fixamos todas as variáveis exceto a i-ésima e fazemos
(lambda f)(dots,a,u+b,w,dots) =lambda,f(dots,a,u+b,w,dots) =lambdal(a,f(dots,u,dots)+b,f(dots,w,dots)r)
= a,(lambda f)(dots,u,dots)+b,(lambda f)(dots,w,dots)
Assim, lambda fin Bm(V).

Resposta

Portanto, Bm(V) contém o zero, é fechada sob soma e sob multiplicação por escalares, logo é subespaço de F.

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