Seja
um espaço vetorial sobre
. Uma transformação
é chamada forma multilinear (ou m-linear) em
se
é linear em cada variável, isto é, para
,
onde
e
estão na i-ésima componente de
e as outras componentes são mantidas fixas. Uma forma m-linear
é chamada alternada se
Demonstre:
O conjunto
de formas m-lineares em
é um subespaço do espaço vetorial das funções
em
.
O conjunto
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é subespaço do espaço vetorial
com operações definidas ponto a ponto:
e
.
Para isso, vamos usar a definição de subespaço: é preciso verificar que
(1) o zero de está em
,
(2) a soma de duas formas multilineares é multilinear, e
(3) o múltiplo escalar de uma forma multilinear é multilinear.
é subespaço do espaço vetorial
com operações definidas ponto a ponto:
Para isso, vamos usar a definição de subespaço: é preciso verificar que
(1) o zero de
(2) a soma de duas formas multilineares é multilinear, e
(3) o múltiplo escalar de uma forma multilinear é multilinear.
Passo 2
Definimos a função zero
para todo
. Se fixamos todas as variáveis, exceto a i-ésima, e escrevemos na i-ésima a combinação
, então
Logo,
satisfaz a condição de linearidade em cada argumento e pertence a
.
Passo 3
Sejam
. Vamos provar que
é multilinear. Fixe
e todas as componentes exceto a i-ésima. Para vetores
e escalares
,
Como
e
são lineares na i-ésima variável, isto vale
Isso mostra a linearidade na i-ésima variável, e como
era arbitrário,
.
Passo 4
Seja
e
. Para ver que
é multilinear, fixamos todas as variáveis exceto a i-ésima e fazemos
Assim,
.
Resposta
Portanto,
contém o zero, é fechada sob soma e sob multiplicação por escalares, logo é subespaço de
.