Seja
um espaço vetorial sobre
. Uma transformação
é chamada forma multilinear (ou m-linear) em
se
é linear em cada variável, isto é, para
,
onde
e
estão na i-ésima componente de
e as outras componentes são mantidas fixas. Uma forma m-linear
é chamada alternada se
Demonstre:
O conjunto
de formas m-lineares alternadas em
é um subespaço de
.
O conjunto
Passo 1
O enunciado define
como o espaço de todas as formas
-lineares em
e
como aquelas que, além de serem multilineares, satisfazem a condição alternada
Para mostrar que
é subespaço de
precisamos verificar que
- a forma zero está em
, -
é fechado sob soma, -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Definimos a forma zero por
Essa forma é linear em cada variável (pois soma e escalar de zeros permanecem zero) e claramente é alternada, já que
Logo,
.
Passo 3
Sejam
. Primeiro,
é
-linear porque a soma de funções lineares em cada argumento continua linear em cada argumento. Agora, se em
dois argumentos forem iguais, digamos
, então
Como
e
são alternadas, cada um dos termos é zero, logo a soma também é zero. Portanto
.
Passo 4
Seja
e
. A função
é multilinear porque
Além disso, se dois argumentos coincidem,
, então
Logo
também é alternada, e portanto
.
Resposta
Portanto,
contém o zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar, logo é subespaço de
.