Seja V um espaço vetorial sobre K. Uma transformação f: V times V times cdots times V K é chamada forma multilinear (ou m-linear) em V se f é linear em cada variável, isto é, para i=1, cdots, m,
f(cdots, a u+b v, cdots)=a f(cdots, u, cdots)+b f(cdots, v, cdots),
onde u e v estão na i-ésima componente de f e as outras componentes são mantidas fixas. Uma forma m-linear f é chamada alternada se
f(v1, cdots, vm)=0, sempre que vi=vk, i neq k
Demonstre:
O conjunto Am(V) de formas m-lineares alternadas em V é um subespaço de Bm(V).

Passo 1

O enunciado define Bm(V) como o espaço de todas as formas m-lineares em V e Am(V)subset Bm(V) como aquelas que, além de serem multilineares, satisfazem a condição alternada
f(v1,dots,vm)=0sempre que dois argumentos são iguais ã
Para mostrar que Am(V) é subespaço de Bm(V) precisamos verificar que
  1. a forma zero está em Am(V),
  2. Am(V) é fechado sob soma,
  3. Am(V) é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Definimos a forma zero por
0(v1,dots,vm) = 0para todo (v1,dots,vm)in V^m
Essa forma é linear em cada variável (pois soma e escalar de zeros permanecem zero) e claramente é alternada, já que
0(dots,vi,dots,vi,dots)=0
Logo, 0in Am(V).

Passo 3

Sejam f,gin Am(V). Primeiro, f+g é m-linear porque a soma de funções lineares em cada argumento continua linear em cada argumento. Agora, se em f+g dois argumentos forem iguais, digamos vi=vk, então
(f+g)(v1,dots,vi,dots,vi,dots,vm) = f(dots,vi,dots,vi,dots)+g(dots,vi,dots,vi,dots)
Como f e g são alternadas, cada um dos termos é zero, logo a soma também é zero. Portanto f+gin Am(V).

Passo 4

Seja fin Am(V) e lambdainK. A função lambda f é multilinear porque
(lambda f)(dots,a u+b v,dots) =lambdal(a f(dots,u,dots)+b f(dots,v,dots)r) =a(lambda f)(dots,u,dots)+b(lambda f)(dots,v,dots)
Além disso, se dois argumentos coincidem, vi=vk, então
(lambda f)(v1,dots,vi,dots,vi,dots,vm) =lambda,f(v1,dots,vi,dots,vi,dots,vm) =lambdacdot0=0
Logo lambda f também é alternada, e portanto lambda fin Am(V).

Resposta

Portanto, Am(V) contém o zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar, logo é subespaço de Bm(V).

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