No espaço M2 times 2(R) com produto interno lang<= A, Brang<==tr(A B), qual é a distância entre as matrizes A=(ll1 & 0 0 & 1) e B=(ll0 & 1 1 & 0) ?
Escolha uma opção:
a. raiz2
b. 2
c. 1
d. raiz3
e. Nenhuma das alternativas

Passo 1

O enunciado está em M2times2( R) com produto interno
lang<= A,Brang<= = tr(AB),
e pede a distância entre
A = 1 & 0 0 & 1 e B = 0 & 1 1 & 0
Vamos usar a definição de distância induzida pelo produto interno.

Passo 2

A distância entre A e B é
d(A,B) = |A - B|,
onde
|X| = raizlang<= X,Xrang<=

Passo 3

Calcular a matriz diferença:
D = A - B = 1 & 0 0 & 1 - 0 & 1 1 & 0 = 1 & -1 -1 & 1

Passo 4

Calcular lang<= D,Drang<=. Como D é simétrica,
lang<= D,Drang<= = tr(D^2)
Primeiro
D^2 = 1 & -1 -1 & 1 1 & -1 -1 & 1 = 2 & -2 -2 & 2,
de modo que
tr(D^2) = 2 + 2 = 4

Passo 5

Logo
d(A,B) = |D| = raizlang<= D,Drang<= = raiz4 = 2
Isso corresponde à alternativa (b).

Resposta

(b)

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