Sejam boldsymbolu=(u1, ldots, un) e boldsymbolv=(v1, ldots, vn) vetores do R^n. A forma lang<= u, vrang<==sumk=1^n k uk vk é produto interno em R^n
Escolha uma opção:
Falso
Verdadeiro

Passo 1

O enunciado define uma aplicação
lang<= u,vrang<= = sumk=1^nk,uk,vk
para vetores u=(u1,dots,un) e v=(v1,dots,vn) em R^n. Para mostrar que isso é produto interno, precisamos verificar três propriedades: simetria, bilinearidade e positividade definida.

Passo 2

Verificação da simetria. Para todo u,vinR^n,
lang<= u,vrang<= = sumk=1^nk,uk,vk e lang<= v,urang<= = sumk=1^nk,vk,uk
Como a multiplicação em R é comutativa, uk,vk = vk,uk. Logo
lang<= u,vrang<= = lang<= v,urang<=,
ou seja, é simétrica.

Passo 3

Verificação da bilinearidade. Suponha u,u',v,winR^n e alpha,betainR. Então
lang<= alpha u+beta u',vrang<= = sumk=1^n k,(alpha uk+beta u'k),vk = alphasumk=1^n k,uk,vk + betasumk=1^n k,u'k,vk = alphalang<= u,vrang<= + betalang<= u',vrang<=
De modo análogo para o segundo argumento, o que mostra a bilinearidade.

Passo 4

Verificação da positividade definida. Para todo uinR^n,
lang<= u,urang<= = sumk=1^n k,uk^2
Cada termo k,uk^2 é não negativo porque k>0 e uk^2>=0. Se lang<= u,urang<= = 0, então k,uk^2=0 para todo k, o que implica uk=0 para todo k. Portanto u=0. Assim a forma é estritamente positiva.

Resposta

Verdadeiro

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