Verifique em cada um dos casos abaixo se
define um produto interno no espaço vetorial
dado.
(d)
, onde
e, para
é o traço da matriz
.
(d)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se em V = M_{2\times2}(\mathbb{R}) a aplicação
satisfaz as três propriedades de produto interno: bilinearidade, simetria e positividade estrita.
Passo 2
Vamos checar a linearidade na primeira variável. Para quaisquer matrizes
e escalar
, temos:
e
Passo 3
Agora a simetria. Usamos a propriedade
. Então
Passo 4
Por fim, a positividade estrita. Note que
que é sempre
Passo 5
Como as três propriedades (bilinearidade, simetria e positividade estrita) estão satisfeitas, concluímos que
é de fato um produto interno em
.
Resposta
Sim,
define um produto interno em
.