Verifique em cada um dos casos abaixo se lang<= u, vrang<= define um produto interno no espaço vetorial V dado.
(d) A, B in V=M2 times 2(R), onde A e, para é o traço da matriz .

Passo 1

O enunciado pede para verificar se em V = M_{2\times2}(\mathbb{R}) a aplicação lang<= A,Brang<==tr(B^tA) satisfaz as três propriedades de produto interno: bilinearidade, simetria e positividade estrita.

Passo 2

Vamos checar a linearidade na primeira variável. Para quaisquer matrizes A,B,C e escalar lambda, temos:
lang<= A+B, Crang<==trl(C^t(A+B)r)=tr(C^tA)+tr(C^tB)=lang<= A,Crang<=+lang<= B,Crang<=
e
lang<=lambda A, Brang<==trl(B^t(lambda A)r)=lambda,tr(B^tA)=lambdalang<= A,Brang<=

Passo 3

Agora a simetria. Usamos a propriedade tr(X)=tr(X^t). Então
lang<= A,Brang<==tr(B^tA)=trl((B^tA)^tr)=tr(A^tB)=lang<= B,Arang<=

Passo 4

Por fim, a positividade estrita. Note que
lang<= A,Arang<==tr(A^tA)=a11^2+a21^2+a12^2+a22^2
que é sempre >=0, e só é zero se e somente se todos os aij=0, ou seja, A for a matriz nula.

Passo 5

Como as três propriedades (bilinearidade, simetria e positividade estrita) estão satisfeitas, concluímos que lang<= A,Brang<==tr(B^tA) é de fato um produto interno em M2times2(R).

Resposta

Sim, lang<= A,Brang<==tr(B^tA) define um produto interno em M2times2(R).

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