(Espaço vetorial incomum - Anton, H. Álgebra Linear com aplicações; p. 176) Sejam
o conjunto dos números reais positivos e defina as operações de
por:
a) Calcule
e
.
b) Verifique que o vetor nulo
de
é o número 1 (isto é,
).
c) Verifique que o simétrico
do vetor
é
.
d) Mostre que
.
e) Determine uma base e a dimensão de
.
b) Verifique que o vetor nulo
c) Verifique que o simétrico
d) Mostre que
e) Determine uma base e a dimensão de
Passo 1
O enunciado define em
a “soma”
e a “multiplicação escalar”
Precisamos calcular itens simples (a), verificar identidade e inverso em
(b,c), provar uma igualdade (d) e, por fim, achar uma base e a dimensão de
(e).
Passo 2
Para a) basta aplicar as definições:
Passo 3
Para b) o vetor nulo
é o elemento
tal que, para todo
,
Ou seja,
implica
. Logo
.
Passo 4
Para c) o simétrico de
é o elemento
com
isto é,
Passo 5
Para d) calculemos os dois lados:
enquanto
Portanto
.
Passo 6
Para e) note que a aplicação
é isomorfismo de espaços vetoriais (pois transforma
em soma usual e
em multiplicação escalar usual). Logo
. Um vetor cuja imagem em
seja
serve de base; por exemplo
com
. Assim
é base de
e
.
Resposta
a)
,
.
b) .
c) .
d) .
e) , uma base é
.
b)
c)
d)
e)