Indique se as seguintes asserções estão CERTAS ou ERRADAS.
Os polinômios 1-t^{3} e (1-t)^{2} geram um subespaço de P_{3} cuja dimensão é igual 2 .

Passo 1

O enunciado apresenta dois polinômios em P_{3}: p_{1}(t)=1-t^{3} e p_{2}(t)=(1-t)^{2}=1-2t+t^{2},
e pergunta se o subespaço gerado por eles tem dimensão igual a 2. Vamos usar o conceito de independência linear: dois vetores (polinômios) independentes geram um subespaço de dimensão 2.

Passo 2

Para testar independência, consideramos a combinação linear nula:
a\,p_{1}(t) + b\,p_{2}(t) = 0.
Logo,
a(1 - t^{3}) + b(1 - 2t + t^{2}) = 0
como polinômio idêntico a zero.

Passo 3

Comparando coeficientes dos monômios:
– Coeficiente de t^{3}: -a=0 a=0.
– Coeficiente de t^{2}: b=0.
– Coeficiente de t: -2b=0, consistente com b=0.
– Termo constante: a+b=0, também satisfeito por a=b=0.
Portanto, só a combinação trivial anula os polinômios, o que prova que p_{1} e p_{2} são linearmente independentes.

Passo 4

Como temos dois polinômios independentes, o subespaço que eles geram tem dimensão 2.

Resposta

CERTA.

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