(Espaço vetorial incomum - Anton, H. Álgebra Linear com aplicações; p. 176) Sejam V o conjunto dos números reais positivos e defina as operações de V por:
\begin{aligned} x \oplus y & =x y \\\ \alpha \odot x & =x^{\alpha} . \end{aligned}
a) Calcule 1 \oplus 1 e 2 \odot 1.
b) Verifique que o vetor nulo \mathbf{0}_{V} de V é o número 1 (isto é, \mathbf{0}_{V}=1 ).
c) Verifique que o simétrico -x do vetor x \in V é \frac{1}{x}.
d) Mostre que (x \oplus y)^{2}=x^{2} \oplus y^{2}.
e) Determine uma base e a dimensão de V.

Passo 1

O enunciado define em V=\mathbb{R}^+ a “soma”
x\oplus y = x\,y
e a “multiplicação escalar”
\alpha\odot x = x^{\alpha}.
Precisamos calcular itens simples (a), verificar identidade e inverso em \oplus (b,c), provar uma igualdade (d) e, por fim, achar uma base e a dimensão de V (e).

Passo 2

Para a) basta aplicar as definições:
1\oplus 1 = 1\cdot 1 = 1,
2\odot 1 = 1^2 = 1.

Passo 3

Para b) o vetor nulo \mathbf{0}_V é o elemento z\in V tal que, para todo x\in V,
x\oplus z = x.
Ou seja,
x\,z = x \quad\forall x>0
implica z=1. Logo \mathbf{0}_V=1.

Passo 4

Para c) o simétrico de x é o elemento y\in V com
x\oplus y = \mathbf{0}_V = 1,
isto é,
x\,y = 1 \quad\Longrightarrow\quad y = \frac1x.

Passo 5

Para d) calculemos os dois lados:
(x\oplus y)^2 = (x\,y)^2 = x^2\,y^2,
enquanto
x^2\oplus y^2 = x^2\,y^2.
Portanto (x\oplus y)^2 = x^2\oplus y^2.

Passo 6

Para e) note que a aplicação
\varphi\colon V\to\mathbb{R},\qquad \varphi(x)=\ln x
é isomorfismo de espaços vetoriais (pois transforma \oplus em soma usual e \odot em multiplicação escalar usual). Logo \dim V=1. Um vetor cuja imagem em \mathbb{R} seja 1 serve de base; por exemplo e\in V com \ln e=1. Assim \{e\} é base de V e \dim V=1.

Resposta

a) 1\oplus1=1, \;2\odot1=1.
b) \mathbf{0}_V=1.
c) -x=\tfrac1x.
d) (x\oplus y)^2 = x^2\oplus y^2.
e) \dim V=1, uma base é \{e\}.

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