No espaço vetorial \mathcal{F}(\mathbb{R} ; \mathbb{R}) sejam
  • F_{1} : conjunto das funções f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} que se anulam em todos os pontos do intervalo [0,1];
  • F_{2} : conjunto das funções f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} que se anulam cm todos os pontos do intervalo [2,3];
Responda os itens abaixo:
(a) Mostre que F_{1} e F_{2} são subespaços vetoriais de \mathcal{F}(\mathbb{R} ; \mathbb{R}).
(b) Mostre que \mathcal{F}(\mathbb{R} ; \mathbb{R})=F_{1}+F_{2}.
(c) Mostre que F_{1} \cap F_{2} \neq\{0\}.

Passo 1

O enunciado considera o espaço vetorial \mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}) de todas as funções f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} e define
  • F_{1}=\{f\mid f(x)=0\;\forall x\in[0,1]\},
  • F_{2}=\{f\mid f(x)=0\;\forall x\in[2,3]\}.
    Os itens a resolver são: (a) provar que F_{1} e F_{2} são subespaços; (b) mostrar que F_{1}+F_{2}=\mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}); (c) mostrar que F_{1}\cap F_{2}\neq\{0\}.

Passo 2

Para provar que F_{1} é subespaço, usamos o critério usual:
  1. A função zero 0(x)=0 anula-se em [0,1], logo 0\in F_{1}.
  2. Se f,g\in F_{1}, então para todo x\in[0,1] temos f(x)=0 e g(x)=0, logo
(f+g)(x)=f(x)+g(x)=0+0=0,
portanto f+g\in F_{1}.
3. Se \alpha\in\mathbb{R} e f\in F_{1}, então para todo x\in[0,1]
(\alpha f)(x)=\alpha\,f(x)=\alpha\cdot 0=0,
logo \alpha f\in F_{1}.
Portanto F_{1} é subespaço. A prova para F_{2} é idêntica trocando [0,1] por [2,3].

Passo 3

Dada qualquer f\in\mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R})\), queremos escrever \(f=f_{1}+f_{2}\) com \(f_{1}\in F_{1}\) e \(f_{2}\in F_{2}\). Defina \[f_{2}(x)= \begin{cases} f(x),&0\le x<2,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
Então em todo x\in[2,3]\] vale \(f_{2}(x)=0, ou seja f_{2}\in F_{2}. Agora ponha f_{1}=f-f_{2}. Para x\in[0,1] temos f_{2}(x)=f(x), logo
f_{1}(x)=f(x)-f_{2}(x)=f(x)-f(x)=0,
isto é, f_{1}\in F_{1}. Evidentemente f_{1}+f_{2}=f. Concluímos que todo f se decompõe, logo
F_{1}+F_{2}=\mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}).

Passo 4

Para ver que F_{1}\cap F_{2}\neq\{0\}\), basta dar um exemplo de função não nula que anule em ambos os intervalos \([0,1]\) e \([2,3]\). Por exemplo, defina \[g(x)= \begin{cases} 0,&x\in[0,1]\cup[2,3],\\\\ 1,&\text{caso contrário.} \end{cases}
Então g\neq 0\], e como \(g(x)=0 em [0,1] e em [2,3], temos g\in F_{1}\cap F_{2}. Assim a interseção não é apenas \{0\}.

Resposta

(a) F_{1}\) e \(F_{2}\) satisfazem o teste de subespaço (contêm o zero, fecham em soma e multiplicação por escalar), logo são subespaços. (b) Dada \(f\), definindo \[f_{2}(x)= \begin{cases} f(x),&0\le x<2,\\\\ 0,&\text{caso contrário,} \end{cases} \quad f_{1}=f-f_{2},
vemos que f_{1}\in F_{1}\], \[f_{2}\in F_{2} e f=f_{1}+f_{2}, portanto F_{1}+F_{2}=\mathcal{F}(\mathbb{R};\mathbb{R}).
(c) A função
g(x)= \begin{cases} 0,&x\in[0,1]\cup[2,3],\\\\ 1,&\text{caso contrário} \end{cases}á
pertence a F_{1}\cap F_{2}\] e não é a função zero, logo \(F_{1}\cap F_{2}\neq\{0\}.

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