No espaço vetorial
sejam
-
: conjunto das funções
que se anulam em todos os pontos do intervalo
;
-
: conjunto das funções
que se anulam cm todos os pontos do intervalo [2,3];
Responda os itens abaixo:
(a) Mostre que
e
são subespaços vetoriais de
.
(b) Mostre que
.
(c) Mostre que
.
(a) Mostre que
(b) Mostre que
(c) Mostre que
Passo 1
O enunciado considera o espaço vetorial
de todas as funções
e define
-
, -
.
Os itens a resolver são: (a) provar quee são subespaços; (b) mostrar que ; (c) mostrar que .
Passo 2
Para provar que
é subespaço, usamos o critério usual:
- A função zero
anula-se em , logo . - Se
, então para todo temos e , logo
portanto
.
3. Se e
, então para todo
3. Se
logo
.
Portanto é subespaço. A prova para
é idêntica trocando
por
.
Portanto
Passo 3
Dada qualquer
Então em todo
, ou seja
. Agora ponha
. Para
temos
, logo
isto é,
. Evidentemente
. Concluímos que todo
se decompõe, logo
Passo 4
Para ver que
Então
em
e em
, temos
. Assim a interseção não é apenas
.
Resposta
(a)
vemos que
e
, portanto
.
(c) A função
pertence a
.