Mostre que a reunião de três subespaços vetoriais só pode ser um subespaço vetorial quando um deles contém os outros dois.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dadas três subespaços vetoriais
de um espaço vetorial
, a união
só é subespaço vetorial se e somente se um desses
contiver os outros dois. Vamos usar o resultado clássico sobre união de dois subespaços.
Passo 2
Lema: a união de dois subespaços
e
é subespaço se e somente se
ou
.
Prova resumida: se nem nem
, escolhemos
e
. Como
estão na união, a soma
deveria estar na união. Mas
(pois
é subespaço e não contém
) e
(pois
não contém
). Logo a união falha em fechar soma, não é subespaço. A recíproca é clara: se
então
, subespaço, e vice-versa.
Prova resumida: se nem
Passo 3
Defina
. Como estamos supondo que
é subespaço, aplicamos o lema ao par
. Logo, ou
-
, ou -
.
Passo 4
Caso 1:
. Então
é subespaço. Pelo lema aplicado a
, ou
ou
.
- Se
, então , e contém . - Se
, então , e contém .
Caso 2:
. Então
e
, logo
contém
.
Resposta
Mostramos que, para a união de três subespaços ser subespaço, necessariamente um deles contém os outros dois.