Mostre que a reunião de três subespaços vetoriais só pode ser um subespaço vetorial quando um deles contém os outros dois.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dadas três subespaços vetoriais W_{1},W_{2},W_{3} de um espaço vetorial V, a união
W_{1}\cup W_{2}\cup W_{3}
só é subespaço vetorial se e somente se um desses W_{i} contiver os outros dois. Vamos usar o resultado clássico sobre união de dois subespaços.

Passo 2

Lema: a união de dois subespaços S e T é subespaço se e somente se S\subseteq T ou T\subseteq S.
Prova resumida: se nem S\subseteq T nem T\subseteq S, escolhemos \;x\in S\setminus T e y\in T\setminus S. Como x,y estão na união, a soma x+y deveria estar na união. Mas x+y\notin S (pois S é subespaço e não contém y) e x+y\notin T (pois T não contém x). Logo a união falha em fechar soma, não é subespaço. A recíproca é clara: se S\subseteq T então S\cup T=T, subespaço, e vice-versa.

Passo 3

Defina U=W_{1}\cup W_{2}. Como estamos supondo que
W_{1}\cup W_{2}\cup W_{3}=U\cup W_{3}
é subespaço, aplicamos o lema ao par (U,W_{3}). Logo, ou
  1. W_{3}\subseteq U, ou
  2. U\subseteq W_{3}.

Passo 4

Caso 1: W_{3}\subseteq U. Então U\cup W_{3}=U é subespaço. Pelo lema aplicado a (W_{1},W_{2}), ou W_{1}\subseteq W_{2} ou W_{2}\subseteq W_{1}.
  • Se W_{1}\subseteq W_{2}, então W_{3}\subseteq U=W_{1}\cup W_{2}=W_{2}, e W_{2} contém W_{1},W_{3}.
  • Se W_{2}\subseteq W_{1}, então W_{3}\subseteq U=W_{1}, e W_{1} contém W_{2},W_{3}.
Caso 2: U\subseteq W_{3}. Então W_{1}\subseteq U\subseteq W_{3} e W_{2}\subseteq U\subseteq W_{3}, logo W_{3} contém W_{1},W_{2}.

Resposta

Mostramos que, para a união de três subespaços ser subespaço, necessariamente um deles contém os outros dois.

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