Sejam
e
bases do
tais que
e
.
(b) Encontre
, se
.
(b) Encontre
Passo 1
Beleza, vamos lá! Pelo enunciado, temos duas bases no espaço tridimensional,
. A base
é formada pelos vetores
,
e
. A base
é definida em termos da base
com os vetores
,
e
. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do vetor
na base
, ou seja,
.
Para isso, vamos precisar entender como os vetores da base
estão relacionados aos vetores da base
e depois resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes que expressam
como combinação linear desses vetores da base
.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar os vetores da base
em termos dos vetores da base
. Segundo o enunciado:
Agora, substituímos os valores dos vetores
,
e
:
Então, temos:
Passo 3
Agora, queremos expressar o vetor
como uma combinação linear dos vetores da base
. Ou seja, queremos encontrar escalares
,
e
tais que:
Substituindo os valores:
Isso gera o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Uma maneira simples é usar o método da substituição ou eliminação. Vamos usar eliminação aqui.
Primeiro, da equação (2):
Agora, substituímos
da equação (4) na equação (1):
Agora, substituímos
da equação (4) na equação (3):
Passo 5
Agora temos duas equações com duas incógnitas:
Vamos somar as duas equações:
Agora, substituímos
na equação (6):
Agora que temos
e
, vamos encontrar
usando a equação (4):
Passo 6
Então, encontramos os valores:
Isso significa que as coordenadas do vetor
na base
são
.