Sejam alpha=u1=(1,1,0), u2=(2,1,1), u3=(-1,0,1) e beta=v1, v2, v3 bases do R^3 tais que v1=u1-u3, v2=u1+u2-2 u3 e v3=-u1+2 u3.
(b) Encontre [v]beta, se v=(-2,1,-1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Pelo enunciado, temos duas bases no espaço tridimensional, . A base é formada pelos vetores , e . A base é definida em termos da base com os vetores , e . Nosso objetivo é encontrar as coordenadas do vetor na base , ou seja, .
Para isso, vamos precisar entender como os vetores da base estão relacionados aos vetores da base e depois resolver um sistema de equações para encontrar os coeficientes que expressam como combinação linear desses vetores da base .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar os vetores da base v1 = u1 - u3 em termos dos vetores da base v2 = u1 + u2 - 2u3 . Segundo o enunciado:
v3 = -u1 + 2u3
v1 = (1,1,0) - (-1,0,1) = (1 + 1, 1 + 0, 0 - 1) = (2,1,-1)
v2 = (1,1,0) + (2,1,1) - 2*(-1,0,1) = (1+2+2, 1+1+0, 0+1-2) = (5,2,-1)
Agora, substituímos os valores dos vetores v3 = -(1,1,0) + 2*(-1,0,1) = (-1 -2, -1 + 0, 0 + 2) = (-3,-1,2) , v1 = (2,1,-1), v2 = (5,2,-1), v3 = (-3,-1,2) e :
Então, temos:

Passo 3

Agora, queremos expressar o vetor v = c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 como uma combinação linear dos vetores da base (-2,1,-1) = c1 (2,1,-1) + c2 (5,2,-1) + c3 (-3,-1,2) . Ou seja, queremos encontrar escalares 2c1 + 5c2 - 3c3 = -2 (1) , c1 + 2c2 - c3 = 1 (2) e - c1 - c2 + 2c3 = -1 (3) tais que:
Substituindo os valores:
Isso gera o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Uma maneira simples é usar o método da substituição ou eliminação. Vamos usar eliminação aqui.
Primeiro, da equação (2):
c1 = 1 - 2c2 + c3 (4)
Agora, substituímos 2(1 - 2c2 + c3) + 5c2 - 3c3 = -2 da equação (4) na equação (1):
2 - 4c2 + 2c3 + 5c2 - 3c3 = -2
( -4c2 + 5c2 ) + (2c3 - 3c3) + 2 = -2
c2 - c3 + 2 = -2
c2 - c3 = -4 (5)
- (1 - 2c2 + c3) - c2 + 2c3 = -1
Agora, substituímos -1 + 2c2 - c3 - c2 + 2c3 = -1 da equação (4) na equação (3):
(2c2 - c2) + (-c3 + 2c3) -1 = -1
c2 + c3 -1 = -1
c2 + c3 = 0 (6)

Passo 5

Agora temos duas equações com duas incógnitas:
c2 - c3 = -4 (5)
c2 + c3 = 0 (6)
Vamos somar as duas equações:
(c2 - c3) + (c2 + c3) = -4 + 0
2c2 = -4
c2 = -2
Agora, substituímos -2 + c3 = 0 na equação (6):
c3 = 2
c1 = 1 - 2(-2) + 2 = 1 + 4 + 2 = 7
Agora que temos e , vamos encontrar usando a equação (4):

Passo 6

Então, encontramos os valores:
c1 = 7, c2 = -2, c3 = 2
Isso significa que as coordenadas do vetor 7 -2 2 na base são .

Resposta

[v]beta = 7 -2 2

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