No espaço vetorial real \mathbb{R}^{3} considere as bases ordenadas:
\alpha=\{(1,2,1),(-1,2,-1),(1,1,3)\} \text { e } \beta=\{(-3,2,-3),(1,-1,-1),(5,4,9)\} .
(a) (0,5) Determine as coordenadas do vetor \mathrm{u}=(6,3,8) em relação à base \alpha (isto é, [\mathrm{u}]_{\alpha} ).
(b) (0,5) Determine \mathrm{v} \in \mathbb{R}^{3} tal que [\mathrm{v}]_{\beta}=[\mathrm{u}]_{\alpha} sendo \mathrm{u}=(6,3,8).
(c) (1,0) Determine [I]_{\alpha}^{\beta} a matriz de mudança de base da base \beta para a base \alpha.

Passo 1

O enunciado dá as bases ordenadas
\alpha=\{(1,2,1),\,(-1,2,-1),\,(1,1,3)\},\quad \beta=\{(-3,2,-3),\,(1,-1,-1),\,(5,4,9)\}
e pede:
(a) as coordenadas de \mathbf u=(6,3,8) em \alpha;
(b) o vetor \mathbf v com [\mathbf v]_{\beta}=[\mathbf u]_{\alpha};
(c) a matriz de mudança de base [I]_{\alpha}^{\beta} tal que [\mathbf x]_{\alpha}=[I]_{\alpha}^{\beta}[\mathbf x]_{\beta}.
Para isso vamos resolver sistemas lineares para encontrar coordenadas e depois montar a matriz cujas colunas são essas coordenadas de cada vetor de \beta em relação a \alpha.

Passo 2

Para achar [\mathbf u]_{\alpha}=(a_{1},a_{2},a_{3})\) resolvemos \[a_{1}(1,2,1)+a_{2}(-1,2,-1)+a_{3}(1,1,3)=(6,3,8).
Isto gera o sistema
\begin{cases} a_{1}-a_{2}+a_{3}=6,\\\\ 2a_{1}+2a_{2}+a_{3}=3,\\\ a_{1}-a_{2}+3a_{3}=8. \end{cases}
Da terceira equação e da primeira obtemos a_{3}=1\]. Substituindo nas outras dá \(a_{2}=-2 e então a_{1}=3.
Logo
[\mathbf u]_{\alpha}=(3,\,-2,\,1).

Passo 3

Queremos \mathbf v tal que
[\mathbf v]_{\beta}=[\mathbf u]_{\alpha}=(3,-2,1).
Isso significa
\mathbf v =3(-3,2,-3)+(-2)(1,-1,-1)+1\,(5,4,9).
Calculando coordenada a coordenada:
(-9,-)+(-2,2,2)+(5,4,9)=(-9-2+5,\;6+2+4,\;-9+2+9)=(-6,12,2).
Portanto
\mathbf v =(-6,12,2).

Passo 4

Para montar [I]_{\alpha}^{\beta} precisamos expressar cada vetor de \beta em \alpha. São colunas da matriz:
  1. Para (-3,2,-3) achamos (c_{1},c_{2},c_{3}) em
c_{1}(1,2,1)+c_{2}(-1,2,-1)+c_{3}(1,1,3)=(-3,2,-3)
que dá (c_{1},c_{2},c_{3})=(-1,2,0).
  1. Para (1,-1,-1) achamos (d_{1},d_{2},d_{3}) em
d_{1}(1,2,1)+d_{2}(-1,2,-1)+d_{3}(1,1,3)=(1,-1,-1)
que dá (d_{1},d_{2},d_{3})=(1,-1,-1).
  1. Para (5,4,9) achamos (e_{1},e_{2},e_{3}) em
e_{1}(1,2,1)+e_{2}(-1,2,-1)+e_{3}(1,1,3)=(5,4,9)
que dá (e_{1},e_{2},e_{3})=(2,-1,2).
Assim
[I]_{\alpha}^{\beta} =\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2\\\\ 2 & -1 & -1\\\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.

Resposta

(a) [\mathbf u]_{\alpha}=(3,-2,1).
(b) \mathbf v=(-6,12,2).
(c) [I]_{\alpha}^{\beta} =\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2\\\\ 2 & -1 & -1\\\\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}.

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