No espaço vetorial real \mathbb{R}^{3} considere as bases ordenadas:
\alpha=\{(1,2,1),(-1,2,-1),(1,1,3)\} \text { e } \beta=\{(-3,2,-3),(1,-1,-1),(5,4,9)\} .
(a) (0,5) Determine as coordenadas do vetor \mathrm{u}=(6,3,8) em relação à base \alpha (isto é, [\mathrm{u}]_{\alpha} ).
(b) (0,5) Determine \mathrm{v} \in \mathbb{R}^{3} tal que [\mathrm{v}]_{\beta}=[\mathrm{u}]_{\alpha} sendo \mathrm{u}=(6,3,8).
(c) (1,0) Determine [I]_{\alpha}^{\beta} a matriz de mudança de base da base \beta para a base \alpha.
e pede:
(a) as coordenadas de \mathbf u=(6,3,8) em \alpha;
(b) o vetor \mathbf v com [\mathbf v]_{\beta}=[\mathbf u]_{\alpha};
(c) a matriz de mudança de base [I]_{\alpha}^{\beta} tal que [\mathbf x]_{\alpha}=[I]_{\alpha}^{\beta}[\mathbf x]_{\beta}.
Para isso vamos resolver sistemas lineares para encontrar coordenadas e depois montar a matriz cujas colunas são essas coordenadas de cada vetor de \beta em relação a \alpha.
Passo 2
Para achar [\mathbf u]_{\alpha}=(a_{1},a_{2},a_{3})\) resolvemos
\[a_{1}(1,2,1)+a_{2}(-1,2,-1)+a_{3}(1,1,3)=(6,3,8).