Seja
o espaço vetorial dos polinômios sobre
com grau menor ou igual a
. Assuma que
e considere a transformação linear
em que
denota a derivada segunda de
.
(a)
Mostre que L não é sobrejetora.
(b)
pertence à imagem de L ? Justifique sua resposta!
(c)
Determine a dimensão do núcleo e imagem de L .
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
de dimensão
e a transformação linear
Vamos usar conceitos de dimensão de espaço vetorial, grau de polinômio e o teorema do núcleo-imagem (posto-nulidade) para estudar sobrejetividade, imagem e núcleo de
.
Passo 2
Para ver que
não é sobrejetora basta comparar dimensões:
e
.
Como numa aplicação linear vale
Como numa aplicação linear vale
não é possível ocupar todo
. Logo,
não é sobrejetora.
Passo 3
Para verificar se o polinômio constante
pertence à imagem, suponha que exista
tal que
Observe o coeficiente de
no lado esquerdo: ele vem só de
, valendo
. Para não aparecer termo em
é necessário
. Repetindo esse argumento para o coeficiente de
(que envolve
) e sucessivamente, verifica-se que todos os
com
devem ser zero. Mas para dar termo constante igual a
precisamos do coeficiente constante de
, que é
, ser igual a
, ou seja,
. Há contradição, pois acabamos exigindo
e
. Portanto não existe
com
.
Passo 4
Para achar o núcleo, resolvemos
, isto é
Se
não for o polinômio nulo, seja
; então
e
, de onde
, impossibilitando ser o polinômio zero. Logo a única solução é
, e
Passo 5
Pelo teorema posto–nulidade vale
Como
, segue
Resposta
(a)
não é sobrejetora, pois
.
(b) Não, não está na imagem de
(levaria a contradição nos coeficientes de grau mais alto).
(c) e
.
(b) Não,
(c)