Seja \mathcal{P}_{d}(\mathbb{R}) o espaço vetorial dos polinômios sobre \mathbb{R} com grau menor ou igual a d. Assuma que d \geq 2 e considere a transformação linear
\mathrm{L}: \mathcal{P}_{d}(\mathbb{R}) \longrightarrow \mathcal{P}_{d+1}(\mathbb{R}) \text { dada por } p(x) \longmapsto p^{\prime \prime}(x)+x p(x)
em que p^{\prime \prime}(x) denota a derivada segunda de p(x).
(a) (0,5) Mostre que L não é sobrejetora.
(b) (0,5) q(x)=2 pertence à imagem de L ? Justifique sua resposta!
(c) (1,0) Determine a dimensão do núcleo e imagem de L .

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial \mathcal{P}_{d}(\mathbb{R}) de dimensão d+1 e a transformação linear
\mathrm{L}\colon \mathcal{P}_{d}(\mathbb{R})\longrightarrow \mathcal{P}_{d+1}(\mathbb{R}),\quad p(x)\mapsto p''(x)+x\,p(x).
Vamos usar conceitos de dimensão de espaço vetorial, grau de polinômio e o teorema do núcleo-imagem (posto-nulidade) para estudar sobrejetividade, imagem e núcleo de \mathrm{L}.

Passo 2

Para ver que \mathrm{L} não é sobrejetora basta comparar dimensões: \dim \mathcal{P}_{d}(\mathbb{R})=d+1 e \dim \mathcal{P}_{d+1}(\mathbb{R})=d+2.
Como numa aplicação linear vale
\dim\bigl(\mathrm{Im}\,\mathrm{L}\bigr)\le \dim\bigl(\mathcal{P}_{d}(\mathbb{R})\bigr)=d+1 < d+2,
não é possível ocupar todo \mathcal{P}_{d+1}(\mathbb{R}). Logo, \mathrm{L} não é sobrejetora.

Passo 3

Para verificar se o polinômio constante q(x)=2 pertence à imagem, suponha que exista p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots+a_{d}x^{d} tal que
p''(x)+x\,p(x)=2.
Observe o coeficiente de x^{d+1} no lado esquerdo: ele vem só de x\,p(x), valendo a_{d}. Para não aparecer termo em x^{d+1} é necessário a_{d}=0. Repetindo esse argumento para o coeficiente de x^{d} (que envolve a_{d-1}) e sucessivamente, verifica-se que todos os a_{k} com k\ge2 devem ser zero. Mas para dar termo constante igual a 2 precisamos do coeficiente constante de p'', que é 2a_{2}, ser igual a 2, ou seja, a_{2}=1. Há contradição, pois acabamos exigindo a_{2}=0 e a_{2}=1. Portanto não existe p com \mathrm{L}(p)=2.

Passo 4

Para achar o núcleo, resolvemos \mathrm{L}(p)=0, isto é
p''(x)+x\,p(x)=0.
Se p não for o polinômio nulo, seja n=\deg p; então \deg(p'')=n-2 e \deg(xp)=n+1, de onde \deg\bigl(p''+xp\bigr)=n+1>0, impossibilitando ser o polinômio zero. Logo a única solução é p\equiv0, e
\dim\bigl(\ker \mathrm{L}\bigr)=0.

Passo 5

Pelo teorema posto–nulidade vale
\dim\bigl(\ker \mathrm{L}\bigr)+\dim\bigl(\mathrm{Im}\,\mathrm{L}\bigr) =\dim\bigl(\mathcal{P}_{d}(\mathbb{R})\bigr)=d+1.
Como \dim(\ker \mathrm{L})=0, segue
\dim\bigl(\mathrm{Im}\,\mathrm{L}\bigr)=d+1.

Resposta

(a) \mathrm{L} não é sobrejetora, pois \dim\mathrm{Im}\,\mathrm{L}\le d+1<d+2=\dim\mathcal{P}_{d+1}(\mathbb{R}).
(b) Não, q(x)=2 não está na imagem de \mathrm{L} (levaria a contradição nos coeficientes de grau mais alto).
(c) \dim\ker \mathrm{L}=0 e \dim\mathrm{Im}\,\mathrm{L}=d+1.

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