Seja
um espaço vetorial com produto interno
,
(I) Dados
e
são ortogonais se, e somente se,
.
(I) Dados
Passo 1
O enunciado diz que, em um espaço com produto interno
, devemos mostrar que dados
vale
O que precisamos usar é a relação entre norma e produto interno:
Passo 2
Calculemos primeiro o quadrado da norma de
. Usando bilinearidade e simetria do produto interno, temos
Passo 3
De modo análogo, para
obtemos
Passo 4
Agora,
ocorre exatamente quando
que implica
ou seja,
.
Passo 5
Para a recíproca, se
então das fórmulas de
e
tiramos
logo
.
Resposta
A afirmação (I) é verdadeira.