Seja V um espaço vetorial com produto interno \langle, \rangle . Considere as seguintes afirmações:çõ
(I) Dados v, w \in V, v e w são ortogonais se, e somente se, \|v+w\|=\|v-w\|.

Passo 1

O enunciado diz que, em um espaço com produto interno \langle\cdot,\cdot\rangle, devemos mostrar que dados v,w\in V vale
v\perp w\iff \|v+w\|=\|v-w\|.
O que precisamos usar é a relação entre norma e produto interno:
\|x\|^2=\langle x,x\rangle.

Passo 2

Calculemos primeiro o quadrado da norma de v+w. Usando bilinearidade e simetria do produto interno, temos
\|v+w\|^2 =\langle v+w,v+w\rangle =\langle v,v\rangle+2\langle v,w\rangle+\langle w,w\rangle =\|v\|^2+2\langle v,w\rangle+\|w\|^2.

Passo 3

De modo análogo, para v-w obtemos
\|v-w\|^2 =\langle v-w,v-w\rangle =\|v\|^2-2\langle v,w\rangle+\|w\|^2.

Passo 4

Agora, \|v+w\|=\|v-w\| ocorre exatamente quando
\|v+w\|^2=\|v-w\|^2 \quad\Longleftrightarrow\quad \|v\|^2+2\langle v,w\rangle+\|w\|^2 =\|v\|^2-2\langle v,w\rangle+\|w\|^2
que implica
4\langle v,w\rangle=0 \quad\Longrightarrow\quad \langle v,w\rangle=0,
ou seja, v\perp w.

Passo 5

Para a recíproca, se \langle v,w\rangle=0 então das fórmulas de \|v+w\|^2 e \|v-w\|^2 tiramos
\|v+w\|^2 =\|v\|^2+\|w\|^2 =\|v-w\|^2,
logo \|v+w\|=\|v-w\|.

Resposta

A afirmação (I) é verdadeira.

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