Considere \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{4}\right):=\left\{T: \mathbb{R}^{4} \longrightarrow \mathbb{R}^{4} \mid T\right. é \mathbb{R}-linear \}. Sejam \operatorname{ker}(T) e \operatorname{Im}(T) o núcleo e imagem de T. Nos itens a seguir Justifique suas respostas!
Existe T \in \mathcal{L}\left(\mathbb{R}^{4}\right) tal que
(a) (1,0) \operatorname{Im}(T)=\operatorname{ker}(T)=\left\{(x, y, z, t) \in \mathbb{R}^{4} \mid x=y, x+z-t=0\right\} ?
(b) (1,0) T não possui nenhum autovalor?
(c) (1,0) T possui um único autovalor, cujo autoespaço associado tem dimensão 1 ?

Passo 1

O enunciado pede para verificar a existência de operadores lineares T\colon\mathbb R^4\to\mathbb R^4 que satisfaçam as seguintes condições:
(a) \Im(T)=\ker(T)=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4\mid x=y,\;x+z-t=0\};
(b) T não possui nenhum autovalor real;
(c) T possui um único autovalor e o autespaço associado tem dimensão 1.
Vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem, dimensão de subespaços, construções em bases adequadas e, para autovalores, blocos de Jordan e rotações em plano.

Passo 2

Para (a), note que
W=\{(x,y,z,t)\mid x=y,\;x+z-t=0\}
é definido por 2 equações lineares independentes, logo \dim W=4-2=2. Queremos \ker(T)=W e \Im(T)=W; pelo Teorema do Núcleo e Imagem,
\dim\ker(T)+\dim\Im(T)=4\quad\Longrightarrow\quad 2+2=4,
o que é consistente. Basta escolher uma base \{w_1,w_2,u_1,u_2\} de \mathbb R^4 tal que \{w_1,w_2\} baseie W e então definir
T(w_1)=0,\quad T(w_2)=0,\quad T(u_1)=w_1,\quad T(u_2)=w_2.
Com isso \ker(T)=\Span\{w_1,w_2\}=W e \Im(T)=\Span\{w_1,w_2\}=W. Logo tal T existe.

Passo 3

Para (b), basta construir T sem raiz real no polinômio característico. Por exemplo, em coordenadas consideremos duas rotações nos planos (x_1,x_2) e (x_3,x_4):
T=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0 & 0\\\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & \cos\varphi & -\sin\varphi\\\\ 0 & 0 & \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix},
com \theta,\varphi\not\equiv0\pmod\pi. Cada bloco 2\times2 tem polinômio característico t^2-2(\cos\theta)t+1 (sem raiz real), logo T não tem autovalor em \mathbb R.

Passo 4

Para (c), queremos que o único autovalor seja \lambda e que \dim\ker(T-\lambda I)=1. Tomemos a matriz de Jordan de ordem 4 em torno de \lambda:
T=\lambda I + N, \quad N=\begin{pmatrix} 0&1&0&0\\\\ 0&0&1&0\\\\ 0&0&0&1\\\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix}.
O polinômio característico é (t-\lambda)^4, portanto \lambda é o único autovalor (multiplicidade algébrica 4), e o autespaço \ker(T-\lambda I) tem dimensão 1 (geometricamente vem do único bloco de Jordan). Assim existe T com essas propriedades.

Resposta

(a) Sim, conforme a construção do Passo 2.
(b) Sim, conforme o exemplo de rotações do Passo 3.
(c) Sim, conforme o bloco de Jordan do Passo 4.

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