No espaço vetorial real mathbb{R}^{3}, considere os seguintes subespaços:
\begin{gathered} A=\left\{(a, b, 0) \in \mathbb{R}^{3}: a, b \in \mathbb{R}\right\} ; \\ B=\left\{(0, b, c) \in \mathbb{R}^{3}: b, c \in \mathbb{R}\right\} ; \\ C=\left\{(0,0, c) \in \mathbb{R}^{3}: c \in \mathbb{R}\right\} ; \\ D=\left\{(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3}: a=b=c\right\} . \end{gathered}
Mostre que \mathbb{R}^{3}=A+B.

Passo 1

O enunciado dá quatro subespaços de \mathbb{R}^{3}:
A=\left\{(a, b, 0)\in\mathbb{R}^{3}: a,b\in\mathbb{R}\right\},
B=\left\{(0, b, c)\in\mathbb{R}^{3}: b,c\in\mathbb{R}\right\},
C=\left\{(0,0, c)\in\mathbb{R}^{3}: c\in\mathbb{R}\right\},
D=\left\{(a, b, c)\in\mathbb{R}^{3}: a=b=c\right\}.
A pergunta que nos fizeram é: mostrar que \mathbb{R}^{3}=A+B.\n
Aqui é importante notar que o conjunto A+B significa, por definição,
A+B=\{u+v: u\in A,\;v\in B\}.
Ou seja, devemos provar que todo vetor de \mathbb{R}^{3} pode ser escrito como soma de um vetor de A com um vetor de B, e que toda soma de vetores de A e B pertence a \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

Vou explicar claramente o que precisamos mostrar e algumas noções que vamos usar (passo didático curto e direto).\n
  • Para provar duas partes iguais como conjuntos, normalmente mostramos duas inclusões: \,A+B\subseteq\mathbb{R}^{3}\, e \,\mathbb{R}^{3}\subseteq A+B\,.\n
  • A inclusão \,A+B\subseteq\mathbb{R}^{3}\, é quase automática: soma de vetores em \mathbb{R}^{3} resulta em vetor de \mathbb{R}^{3}.\n
  • O ponto-chave é mostrar que qualquer vetor arbitrário \,(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\, pode ser escrito como u+v com u\in A e v\in B. Isso é uma construção simples e direta: escolher explicitamente u e v cuja soma dá (x,y,z). Vou fazer isso passo a passo.

Passo 3

Mostro primeiro a inclusão trivial \,A+B\subseteq\mathbb{R}^{3}\,.\n
Se u\in A e v\in B, então por definição u e v são vetores de \mathbb{R}^{3}. A soma de dois vetores de \mathbb{R}^{3} é um vetor de \mathbb{R}^{3}. Logo todo elemento de A+B é um elemento de \mathbb{R}^{3}. Portanto \,A+B\subseteq\mathbb{R}^{3}\,.

Passo 4

Agora a inclusão principal: \,\mathbb{R}^{3}\subseteq A+B\,.\n
Pegue um vetor arbitrário \,(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}. Queremos escrever (x,y,z)=u+v com u\in A e v\in B.\n
Lembre que vetores de A têm forma (a,b,0) e vetores de B têm forma (0,b',c). Se escrevermos
u=(a,b,0),\qquad v=(0,b',c),
então
u+v=(a,\,b+b',\,c).
Queremos que isso seja (x,y,z). Comparando coordenadas, precisamos de
a=x,\qquad b+b'=y,\qquad c=z.

Passo 5

Escolha concreta e verificação (essa é a parte que faz o problema “desmoronar” na prova).\n
Uma escolha simples é tomar a=x, b=0 e então b'=y, c=z. Assim definimos
u=(x,0,0)\in A,
v=(0,y,z)\in B.
Verificamos a soma:
u+v=(x,0,0)+(0,y,z)=(x,\,y,\,z),
que é exatamente o vetor arbitrário escolhido. Portanto qualquer (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} pode ser escrito como soma de um vetor de A com um vetor de B. Assim \,\mathbb{R}^{3}\subseteq A+B\,.

Passo 6

Conclusão combinando as inclusões.\n
Juntando os passos anteriores temos \,A+B\subseteq\mathbb{R}^{3}\, e \,\mathbb{R}^{3}\subseteq A+B\,. Daí segue que
\mathbb{R}^{3}=A+B.
Um comentário extra (intuitivo): geometricamente A é o plano z=0 e B é o plano x=0; somando um vetor do plano z=0 com um vetor do plano x=0 conseguimos atingir qualquer ponto do espaço \mathbb{R}^{3}.

Resposta

\mathbb{R}^{3}=A+B

Exercícios relacionados