No espaço vetorial real
, considere os seguintes subespaços:
Mostre que
.
Passo 1
O enunciado dá quatro subespaços de
:
A pergunta que nos fizeram é: mostrar que
.\n
Aqui é importante notar que o conjunto significa, por definição,
Aqui é importante notar que o conjunto
Ou seja, devemos provar que todo vetor de
pode ser escrito como soma de um vetor de
com um vetor de
, e que toda soma de vetores de
e
pertence a
.
Passo 2
Vou explicar claramente o que precisamos mostrar e algumas noções que vamos usar (passo didático curto e direto).\n
- Para provar duas partes iguais como conjuntos, normalmente mostramos duas inclusões:
e .\n - A inclusão
é quase automática: soma de vetores em resulta em vetor de .\n - O ponto-chave é mostrar que qualquer vetor arbitrário
pode ser escrito como com e . Isso é uma construção simples e direta: escolher explicitamente e cuja soma dá . Vou fazer isso passo a passo.
Passo 3
Mostro primeiro a inclusão trivial
.\n
Se e
, então por definição
e
são vetores de
. A soma de dois vetores de
é um vetor de
. Logo todo elemento de
é um elemento de
. Portanto
.
Se
Passo 4
Agora a inclusão principal:
.\n
Pegue um vetor arbitrário . Queremos escrever
com
e
.\n
Lembre que vetores de têm forma
e vetores de
têm forma
. Se escrevermos
Pegue um vetor arbitrário
Lembre que vetores de
então
Queremos que isso seja
. Comparando coordenadas, precisamos de
Passo 5
Escolha concreta e verificação (essa é a parte que faz o problema “desmoronar” na prova).\n
Uma escolha simples é tomar ,
e então
,
. Assim definimos
Uma escolha simples é tomar
Verificamos a soma:
que é exatamente o vetor arbitrário escolhido. Portanto qualquer
pode ser escrito como soma de um vetor de
com um vetor de
. Assim
.
Passo 6
Conclusão combinando as inclusões.\n
Juntando os passos anteriores temos e
. Daí segue que
Juntando os passos anteriores temos
Um comentário extra (intuitivo): geometricamente
é o plano
e
é o plano
; somando um vetor do plano
com um vetor do plano
conseguimos atingir qualquer ponto do espaço
.