No espaço vetorial real mathbb{R}^{3}, considere os seguintes subespaços:
\begin{gathered} A=\left\{(a, b, 0) \in \mathbb{R}^{3}: a, b \in \mathbb{R}\right\} ; \\ B=\left\{(0, b, c) \in \mathbb{R}^{3}: b, c \in \mathbb{R}\right\} ; \\ C=\left\{(0,0, c) \in \mathbb{R}^{3}: c \in \mathbb{R}\right\} ; \\ D=\left\{(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3}: a=b=c\right\} . \end{gathered}
Mostre que \mathbb{R}^{3} não é soma direta de A e B .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que \mathbb{R}^{3} não é soma direta de A e B. Dados fornecidos (os subespaços):
A=\left\{(a,b,0)\in\mathbb{R}^{3}:a,b\in\mathbb{R}\right\},
B=\left\{(0,b,c)\in\mathbb{R}^{3}:b,c\in\mathbb{R}\right\},
C=\left\{(0,0,c)\in\mathbb{R}^{3}:c\in\mathbb{R}\right\},
D=\left\{(a,a,a)\in\mathbb{R}^{3}:a\in\mathbb{R}\right\}.
A tarefa é afirmar e provar que \mathbb{R}^{3} não é a soma direta de A e B.

Passo 2

Definições fundamentais (explicadas passinho a passinho):
  • A soma de subespaços A e B é
A+B=\{u+v:\;u\in A,\;v\in B\}.
Isto é, todos os vetores que podem ser escritos como soma de um vetor de A com um vetor de B.
  • Dizemos que \mathbb{R}^{3} é soma direta de A e B, escrito \mathbb{R}^{3}=A\oplus B, se duas condições ocorrerem simultaneamente:
    1. A+B=\mathbb{R}^{3} (a soma “gera” todo o espaço), e
    2. A\cap B=\{(0,0,0)\} (a interseção é só o vetor zero).
      Vou usar exatamente essas duas condições: primeiro verifico se a soma gera \mathbb{R}^{3}, depois verifico a interseção.

Passo 3

Mostrar que A+B=\mathbb{R}^{3}.
Pegue um vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}. Quero escrever (x,y,z) como soma de um vetor de A mais um vetor de B.
Observe que (x,y,0)\in A (basta escolher a=x e b=y) e (0,0,z)\in B (basta escolher b=0 e c=z).
A soma desses dois vetores é
(x,y,0)+(0,0,z)=(x,y,z).
Como (x,y,z) era arbitrário, qualquer vetor de \mathbb{R}^{3} pode ser escrito dessa forma. Portanto
A+B=\mathbb{R}^{3}.

Passo 4

Determinar A\cap B.
Um vetor v=(v_1,v_2,v_3) pertence a A\cap B se e somente se v\in A e v\in B ao mesmo tempo. Escrever essas condições:
  • Se v\in A então v=(a,b,0) para alguns a,b.
  • Se v\in B então v=(0,b',c) para alguns b',c.
    Igualando coordenadas dos dois formatos, obtemos
a=0,\qquad b=b',\qquad 0=c.
Logo todo vetor em A\cap B tem a forma (0,b,0) com b\in\mathbb{R}. Portanto
A\cap B=\{(0,b,0):b\in\mathbb{R}\}.

Passo 5

Concluir que a interseção não é trivial e, por isso, a soma não é direta.
Note que (0,1,0) pertence a A\cap B (basta escolher b=1); esse vetor é diferente do vetor zero (0,0,0). Assim A\cap B\neq\{(0,0,0)\}.
Como a condição 2 para soma direta falha (a interseção não é só o vetor zero), concluímos que mesmo tendo A+B=\mathbb{R}^{3} (Passo 3), não temos \mathbb{R}^{3}=A\oplus B.

Resposta

\mathbb{R}^{3} não é soma direta de A e B, pois A\cap B=\{(0,b,0):b\in\mathbb{R}\}\neq\{(0,0,0)\}.

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