No espaço vetorial real
, considere os seguintes subespaços:
Mostre que
não é soma direta de A e B .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
não é soma direta de
e
. Dados fornecidos (os subespaços):
A tarefa é afirmar e provar que
não é a soma direta de
e
.
Passo 2
Definições fundamentais (explicadas passinho a passinho):
- A soma de subespaços
e é
Isto é, todos os vetores que podem ser escritos como soma de um vetor de
com um vetor de
.
- Dizemos que
é soma direta de e , escrito , se duas condições ocorrerem simultaneamente: -
(a soma “gera” todo o espaço), e -
(a interseção é só o vetor zero).
Vou usar exatamente essas duas condições: primeiro verifico se a soma gera, depois verifico a interseção.
-
Passo 3
Mostrar que
.
Pegue um vetor arbitrário . Quero escrever
como soma de um vetor de
mais um vetor de
.
Observe que (basta escolher
e
) e
(basta escolher
e
).
A soma desses dois vetores é
Pegue um vetor arbitrário
Observe que
A soma desses dois vetores é
Como
era arbitrário, qualquer vetor de
pode ser escrito dessa forma. Portanto
Passo 4
Determinar
.
Um vetor pertence a
se e somente se
e
ao mesmo tempo. Escrever essas condições:
Um vetor
- Se
então para alguns . - Se
então para alguns .
Igualando coordenadas dos dois formatos, obtemos
Logo todo vetor em
tem a forma
com
. Portanto
Passo 5
Concluir que a interseção não é trivial e, por isso, a soma não é direta.
Note que pertence a
(basta escolher
); esse vetor é diferente do vetor zero
. Assim
.
Como a condição 2 para soma direta falha (a interseção não é só o vetor zero), concluímos que mesmo tendo (Passo 3), não temos
.
Note que
Como a condição 2 para soma direta falha (a interseção não é só o vetor zero), concluímos que mesmo tendo