No espaço vetorial real mathbb{R}^{3}, considere os seguintes subespaços:
\begin{gathered} A=\left\{(a, b, 0) \in \mathbb{R}^{3}: a, b \in \mathbb{R}\right\} ; \\ B=\left\{(0, b, c) \in \mathbb{R}^{3}: b, c \in \mathbb{R}\right\} ; \\ C=\left\{(0,0, c) \in \mathbb{R}^{3}: c \in \mathbb{R}\right\} ; \\ D=\left\{(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3}: a=b=c\right\} . \end{gathered}
Mostre que \mathbb{R}^{3}=A \oplus C e \mathbb{R}^{3}=B \oplus D.

Passo 1

O enunciado dá quatro subespaços de \mathbb{R}^3. Vou listar explicitamente as perguntas e os dados que temos:
  • Perguntas: Mostrar que \mathbb{R}^3 = A \oplus C e mostrar que \mathbb{R}^3 = B \oplus D.
  • Dados (peguei-os do enunciado):
    A=\left\{(a,b,0)\in\mathbb{R}^3 : a,b\in\mathbb{R}\right\},
B=\left\{(0,b,c)\in\mathbb{R}^3 : b,c\in\mathbb{R}\right\},
C=\left\{(0,0,c)\in\mathbb{R}^3 : c\in\mathbb{R}\right\},
D=\left\{(a,a,a)\in\mathbb{R}^3 : a\in\mathbb{R}\right\}.
  • O que precisa ser provado para cada soma direta: provar que a soma dos subespaços é todo \mathbb{R}^3 (existência de decomposição para qualquer vetor) e provar que a interseção é apenas o vetor zero (unicidade da decomposição). Não vou usar nada além dessas definições.

Passo 2

Vou recordar (e explicar) o conceito que vamos usar: definição de soma direta.
  • Definição: Dados subespaços U,W de um espaço vetorial V, dizemos que V = U \oplus W se e somente se duas condições são satisfeitas:
    1. V = U + W, isto é, todo vetor v\in V pode ser escrito como v = u + w com u\in U e w\in W.
    2. U \cap W = \{0\}, ou seja, a única vetor que está em ambos é o vetor zero (isso garante unicidade da decomposição).
  • Observação prática: para provar V = U \oplus W normalmente mostramos (i) que para um vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 conseguimos escrever explicitamente como soma de um vetor de U e um de W, e (ii) que se um vetor está em ambos então ele deve ser o zero.
Agora aplico isso a cada par de subespaços.

Passo 3

Prova de \mathbb{R}^3 = A + C (existência da soma):
  • Tome um vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^3. Quero escrever (x,y,z) como soma de algo em A e algo em C.
  • Escolho
    u = (x,y,0)\in A
    porque u tem terceira coordenada zero e primeiras duas coordenadas x,y, e
    w = (0,0,z)\in C
    porque w tem forma (0,0,c) com c=z.
  • Então
    u + w = (x,y,0) + (0,0,z) = (x,y,z).
    Logo para qualquer (x,y,z) existe u\in A e w\in C com (x,y,z)=u+w. Portanto \mathbb{R}^3 = A + C.

Passo 4

Prova de A \cap C = \{0\} (unicidade da decomposição para A e C):
  • Seja v\in A\cap C. Então v tem simultaneamente a forma v=(a,b,0) (porque v\in A) e a forma v=(0,0,c) (porque v\in C).
  • Igualando coordenadas:
    (a,b,0) = (0,0,c).
    Então a=0, b=0 e 0=c. Assim a=b=c=0, ou seja v=(0,0,0).
  • Conclusão: a interseção só contém o vetor zero, A\cap C=\{0\}.

Passo 5

Conclusão para o primeiro item:
  • Pelas Passos 3 e 4 temos que \mathbb{R}^3 = A + C e A\cap C=\{0\}. Pela definição (Passo 2) isso implica \mathbb{R}^3 = A \oplus C.

Passo 6

Prova de [\mathbb{R}^3 = B + D) (existência da soma):
  • Tome um vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^3. Quero achar b\in B e d\in D tais que (x,y,z)=b+d.
  • Escrevo vetores genéricos de B e D:
    b'=(0,\beta,\gamma)\in B \quad(\text{com }\beta,\gamma\in\mathbb{R}),
d'=(\alpha,\alpha,\alpha)\in D \quad(\text{com }\alpha\in\mathbb{R}).
  • Impondo b'+d'=(x,y,z) obtemos o sistema de equações por coordenadas:
    \begin{cases} 0+\alpha = x,\\[4pt] \beta + \alpha = y,\\[4pt] \gamma + \alpha = z. \end{cases}
  • Da primeira equação vem (\alpha = x]. Substituindo nas outras:
    \beta = y - \alpha = y - x,
\gamma = z - \alpha = z - x.
  • Assim podemos escolher
    d = (x,x,x)\in D,\qquad b = (0,y-x,z-x)\in B,
    e com essa escolha
    b + d = (0,y-x,z-x) + (x,x,x) = (x,y,z).
  • Portanto para todo (x,y,z) existe b\in B e d\in D com (x,y,z)=b+d. Logo \mathbb{R}^3 = B + D.]

Passo 7

Prova de B \cap D = \{0\} (unicidade da decomposição para B e D):
  • Seja v\in B\cap D. Então v tem tanto a forma v=(0,\beta,\gamma) (porque v\in B) quanto a forma v=(\alpha,\alpha,\alpha) (porque v\in D).
  • Igualando coordenadas:
    (0,\beta,\gamma) = (\alpha,\alpha,\alpha).
    Da primeira coordenada vem \alpha=0. Então das outras coordenadas \beta=\alpha=0 e \gamma=\alpha=0. Assim \beta=\gamma=0 e v=(0,0,0).
  • Conclusão: B\cap D=\{0\}.

Passo 8

Conclusão para o segundo item:
  • Pelas Passos 6 e 7 temos \mathbb{R}^3 = B + D e B\cap D=\{0\}. Assim, pela definição de soma direta, \mathbb{R}^3 = B \oplus D.

Resposta

\mathbb{R}^{3}=A \oplus C
\mathbb{R}^{3}=B \oplus D

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