O que precisa ser provado para cada soma direta: provar que a soma dos subespaços é todo \mathbb{R}^3 (existência de decomposição para qualquer vetor) e provar que a interseção é apenas o vetor zero (unicidade da decomposição). Não vou usar nada além dessas definições.
Passo 2
Vou recordar (e explicar) o conceito que vamos usar: definição de soma direta.
Definição: Dados subespaços U,W de um espaço vetorial V, dizemos que V = U \oplus W se e somente se duas condições são satisfeitas:
V = U + W, isto é, todo vetor v\in V pode ser escrito como v = u + w com u\in U e w\in W.
U \cap W = \{0\}, ou seja, a única vetor que está em ambos é o vetor zero (isso garante unicidade da decomposição).
Observação prática: para provar V = U \oplus W normalmente mostramos (i) que para um vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 conseguimos escrever explicitamente como soma de um vetor de U e um de W, e (ii) que se um vetor está em ambos então ele deve ser o zero.
Agora aplico isso a cada par de subespaços.
Passo 3
Prova de \mathbb{R}^3 = A + C (existência da soma):
Tome um vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^3. Quero escrever (x,y,z) como soma de algo em A e algo em C.
Escolho
u = (x,y,0)\in A
porque u tem terceira coordenada zero e primeiras duas coordenadas x,y, e
w = (0,0,z)\in C
porque w tem forma (0,0,c) com c=z.
Então
u + w = (x,y,0) + (0,0,z) = (x,y,z).
Logo para qualquer (x,y,z) existe u\in A e w\in C com (x,y,z)=u+w. Portanto \mathbb{R}^3 = A + C.
Passo 4
Prova de A \cap C = \{0\} (unicidade da decomposição para A e C):
Seja v\in A\cap C. Então v tem simultaneamente a forma v=(a,b,0) (porque v\in A) e a forma v=(0,0,c) (porque v\in C).
Igualando coordenadas:
(a,b,0) = (0,0,c).
Então a=0, b=0 e 0=c. Assim a=b=c=0, ou seja v=(0,0,0).
Conclusão: a interseção só contém o vetor zero, A\cap C=\{0\}.
Passo 5
Conclusão para o primeiro item:
Pelas Passos 3 e 4 temos que \mathbb{R}^3 = A + C e A\cap C=\{0\}. Pela definição (Passo 2) isso implica\mathbb{R}^3 = A \oplus C.
Passo 6
Prova de [\mathbb{R}^3 = B + D) (existência da soma):
Tome um vetor arbitrário (x,y,z)\in\mathbb{R}^3. Quero achar b\in B e d\in D tais que (x,y,z)=b+d.
Escrevo vetores genéricos de B e D:
b'=(0,\beta,\gamma)\in B \quad(\text{com }\beta,\gamma\in\mathbb{R}),
d'=(\alpha,\alpha,\alpha)\in D \quad(\text{com }\alpha\in\mathbb{R}).
Impondo b'+d'=(x,y,z) obtemos o sistema de equações por coordenadas: