Em um espaço vetorial
tem-se
Mostre que
é L.D.
Passo 1
O enunciado dá duas igualdades entre vetores em um espaço vetorial
:
e
A pergunta é: mostrar que o conjunto
é linearmente dependente (L.D.).
Aqui só listei o que foi dado e o que se pede — não resolvi nada ainda.
Aqui só listei o que foi dado e o que se pede — não resolvi nada ainda.
Passo 2
Primeiro, o que significa “linearmente dependente”? Vou explicar devagar: um conjunto de vetores
é linearmente dependente se existem escalares
, nem todos iguais a zero, tais que
A combinação com todos os
é a combinação trivial; para provar dependência precisamos encontrar uma combinação não trivial (algum coeficiente diferente de zero) que dê o vetor zero. Esse é o objetivo prático.
Passo 3
Estratégia: as igualdades do enunciado envolvem também um vetor
. Uma ideia comum e eficiente é eliminar
combinando as duas equações (multiplicando e subtraindo) para obter uma relação entre apenas
. Se essa relação for do tipo
com algum
, então teremos mostrado dependência. Essa operação (multiplicar equações por escalares e somá-las/subtraí-las) é válida em espaço vetorial.
Passo 4
Observe que o segundo lado das duas equações são múltiplos de
: na primeira temos
, na segunda temos
. Para igualar os termos com
e poder eliminar
, multiplico a primeira equação por
. Multiplicando escalarmente uma igualdade por
dá:
ou seja,
A segunda equação já é
Passo 5
Agora subtraio a segunda equação da equação recém-obtida (isso elimina o
do lado direito):
O lado direito fica
. No lado esquerdo faço as subtrações coordenadas:
Simplificando
, obtemos
Passo 6
A equação
é exatamente uma combinação linear dos vetores
que resulta no vetor zero, com coeficientes
,
,
. Esses coeficientes não são todos zero (por exemplo
), portanto é uma combinação não trivial. Pelo significado de dependência linear (Passo 2), isso prova que
é linearmente dependente.
Passo 7
Dica rápida para a prova: quando aparecem relações que envolvem um vetor extra (aqui
), tente eliminar esse vetor combinando as equações (multiplicar por escalares de modo a igualar os termos com
e depois somar/subtrair). Se sobrar uma relação não trivial só com os vetores do conjunto que você quer testar, então está feito. Dá para aplicar sempre que tiver dois ou mais igualdades envolvendo o mesmo vetor extra.