Em um espaço vetorial V tem-se
v_{1}+3 v_{2}=5 w \text { e } v_{1}+6 v_{3}=10 w
Mostre que \left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} é L.D.

Passo 1

O enunciado dá duas igualdades entre vetores em um espaço vetorial V:
v_{1}+3v_{2}=5w
e
v_{1}+6v_{3}=10w.
A pergunta é: mostrar que o conjunto \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente dependente (L.D.).
Aqui só listei o que foi dado e o que se pede — não resolvi nada ainda.

Passo 2

Primeiro, o que significa “linearmente dependente”? Vou explicar devagar: um conjunto de vetores \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente dependente se existem escalares \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3}, nem todos iguais a zero, tais que
\alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}=0.
A combinação com todos os \alpha_{i}=0 é a combinação trivial; para provar dependência precisamos encontrar uma combinação não trivial (algum coeficiente diferente de zero) que dê o vetor zero. Esse é o objetivo prático.

Passo 3

Estratégia: as igualdades do enunciado envolvem também um vetor w. Uma ideia comum e eficiente é eliminar w combinando as duas equações (multiplicando e subtraindo) para obter uma relação entre apenas v_{1},v_{2},v_{3}. Se essa relação for do tipo \alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+\alpha_{3}v_{3}=0 com algum \alpha_{i}\neq0, então teremos mostrado dependência. Essa operação (multiplicar equações por escalares e somá-las/subtraí-las) é válida em espaço vetorial.

Passo 4

Observe que o segundo lado das duas equações são múltiplos de w: na primeira temos 5w, na segunda temos 10w. Para igualar os termos com w e poder eliminar w, multiplico a primeira equação por 2. Multiplicando escalarmente uma igualdade por 2 dá:
2(v_{1}+3v_{2})=2\cdot 5w,
ou seja,
2v_{1}+6v_{2}=10w.
A segunda equação já é
v_{1}+6v_{3}=10w.

Passo 5

Agora subtraio a segunda equação da equação recém-obtida (isso elimina o 10w do lado direito):
(2v_{1}+6v_{2})-(v_{1}+6v_{3})=10w-10w.
O lado direito fica 0. No lado esquerdo faço as subtrações coordenadas:
2v_{1}-v_{1}+6v_{2}-6v_{3}=0.
Simplificando 2v_{1}-v_{1}=v_{1}, obtemos
v_{1}+6v_{2}-6v_{3}=0.

Passo 6

A equação
v_{1}+6v_{2}-6v_{3}=0
é exatamente uma combinação linear dos vetores v_{1},v_{2},v_{3} que resulta no vetor zero, com coeficientes \alpha_{1}=1, \alpha_{2}=6, \alpha_{3}=-6. Esses coeficientes não são todos zero (por exemplo \alpha_{1}=1\neq0), portanto é uma combinação não trivial. Pelo significado de dependência linear (Passo 2), isso prova que \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente dependente.

Passo 7

Dica rápida para a prova: quando aparecem relações que envolvem um vetor extra (aqui w), tente eliminar esse vetor combinando as equações (multiplicar por escalares de modo a igualar os termos com w e depois somar/subtrair). Se sobrar uma relação não trivial só com os vetores do conjunto que você quer testar, então está feito. Dá para aplicar sempre que tiver dois ou mais igualdades envolvendo o mesmo vetor extra.

Resposta

\;v_{1}+6v_{2}-6v_{3}=0, portanto \{v_{1},v_{2},v_{3}\} é linearmente dependente.

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