Encontre uma vetor w \in \mathbb{R}^{3} tal que \alpha=\{(1,2,1),(1,1,1), w\} seja uma base de \mathbb{R}^{3}
Passo 1
O enunciado pede: encontrar um vetor w\in\mathbb{R}^{3} tal que a família \alpha=\{(1,2,1),(1,1,1),w\} seja uma base de \mathbb{R}^{3}.
Informações dadas:
Os dois primeiros vetores são v_{1}=(1,2,1) e v_{2}=(1,1,1).
O vetor w é desconhecido, queremos escolher w\in\mathbb{R}^{3}.
A condição a satisfazer é que \alpha seja uma base de \mathbb{R}^{3}.
Passo 2
O que significa que \alpha seja uma base de \mathbb{R}^{3}? Vou explicar devagarinho e com calma.
Definição prática (essencial para a prova): um conjunto de três vetores em \mathbb{R}^{3} é uma base se, e somente se, esses três vetores forem linearmente independentes. Linearmente independentes quer dizer que a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero).
Uma forma rápida e muito usada na prova para testar se três vetores são linearmente independentes é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante: se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes (logo formam uma base). Por isso vou usar o critério do determinante — é prático e direto numa prova.
Passo 3
Vamos representar w de forma geral como w=(x,y,z), com x,y,z\in\mathbb{R}. Montamos a matriz A cujas colunas são v_{1}, v_{2} e w:
Para que \det(A)\neq 0 precisamos de x-z\neq 0, ou seja, precisamos que a primeira coordenada de w seja diferente da terceira coordenada de w:
x\neq z.
Portanto qualquer vetor w=(x,y,z) com x\neq z faz com que \alpha seja uma base de \mathbb{R}^{3}. Há infinitas escolhas possíveis — é só garantir que a primeira e a terceira coordenadas não sejam iguais. Você pode levar isso pra prova: escreva w=(x,y,z), calcule o determinante e peça x\neq z. Simples e direto!
Passo 6
Um exemplo concreto (vou deixar a escolha final na seção de resposta) seria pegar valores para x,y,z tais que x\neq z. Isso verifica a condição acima e garante que os três vetores são linearmente independentes. Força aí — você já tem a receita para escolher qualquer w que funcione!