Encontre uma vetor w \in \mathbb{R}^{3} tal que \alpha=\{(1,2,1),(1,1,1), w\} seja uma base de \mathbb{R}^{3}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar um vetor w\in\mathbb{R}^{3} tal que a família \alpha=\{(1,2,1),(1,1,1),w\} seja uma base de \mathbb{R}^{3}.
Informações dadas:
  • Os dois primeiros vetores são v_{1}=(1,2,1) e v_{2}=(1,1,1).
  • O vetor w é desconhecido, queremos escolher w\in\mathbb{R}^{3}.
  • A condição a satisfazer é que \alpha seja uma base de \mathbb{R}^{3}.

Passo 2

O que significa que \alpha seja uma base de \mathbb{R}^{3}? Vou explicar devagarinho e com calma.
Definição prática (essencial para a prova): um conjunto de três vetores em \mathbb{R}^{3} é uma base se, e somente se, esses três vetores forem linearmente independentes. Linearmente independentes quer dizer que a única combinação linear que dá o vetor zero é a combinação trivial (todos os coeficientes iguais a zero).
Uma forma rápida e muito usada na prova para testar se três vetores são linearmente independentes é montar a matriz cujas colunas são esses vetores e calcular o determinante: se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes (logo formam uma base). Por isso vou usar o critério do determinante — é prático e direto numa prova.

Passo 3

Vamos representar w de forma geral como w=(x,y,z), com x,y,z\in\mathbb{R}. Montamos a matriz A cujas colunas são v_{1}, v_{2} e w:
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & x\\[4pt] 2 & 1 & y\\[4pt] 1 & 1 & z \end{pmatrix}.
Queremos que \det(A)\neq 0. Agora vamos calcular \det(A) passo a passo.]

Passo 4

Calculemos \det(A) expandindo pela primeira linha (ou qualquer outra regra de cálculo de determinante):
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & y\\[4pt]1 & z\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & y\\[4pt]1 & z\end{pmatrix} +x\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Agora avalio cada menor:
\det\begin{pmatrix}1 & y\\[4pt]1 & z\end{pmatrix}=1\cdot z - y\cdot 1 = z-y,
\det\begin{pmatrix}2 & y\\[4pt]1 & z\end{pmatrix}=2\cdot z - y\cdot 1 = 2z-y,
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=2\cdot 1 - 1\cdot 1 = 1.
Substituindo:
\det(A)=(z-y)-(2z-y)+x = z-y-2z+y+x = x-z.]

Passo 5

Concluímos que
\det(A)=x-z.
Para que \det(A)\neq 0 precisamos de x-z\neq 0, ou seja, precisamos que a primeira coordenada de w seja diferente da terceira coordenada de w:
x\neq z.
Portanto qualquer vetor w=(x,y,z) com x\neq z faz com que \alpha seja uma base de \mathbb{R}^{3}. Há infinitas escolhas possíveis — é só garantir que a primeira e a terceira coordenadas não sejam iguais. Você pode levar isso pra prova: escreva w=(x,y,z), calcule o determinante e peça x\neq z. Simples e direto!

Passo 6

Um exemplo concreto (vou deixar a escolha final na seção de resposta) seria pegar valores para x,y,z tais que x\neq z. Isso verifica a condição acima e garante que os três vetores são linearmente independentes. Força aí — você já tem a receita para escolher qualquer w que funcione!

Resposta

w=(1,0,0)

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