Seja W o subespaço de R^4 gerado pelos vetores
v1=(1,0,1,1), v2=(0,1,-1,1), v3=(1,-1,2,0)
Determine uma base ortonormal de W.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal de WsubsetR^4 gerado pelos vetores
v1=(1,0,1,1), v2=(0,1,-1,1), v3=(1,-1,2,0)
O método mais direto é o processo de Gram–Schmidt, que transforma um sistema de vetores geradores em um sistema ortonormal.

Passo 2

Escolhemos
u1=v1=(1,0,1,1)
Calculamos seu comprimento:
|u1|=raiz1^2+0^2+1^2+1^2=raiz3
Então o primeiro vetor ortonormal é
e1=u1|u1|=1raiz3,(1,0,1,1)

Passo 3

Subtraímos de v2 sua projeção em u1:
lang<= v2,u1rang<= =0cdot1+1cdot0+(-1)cdot1+1cdot1=0,
u2=v2-lang<= v2,u1rang<=lang<= u1,u1rang<=u1 =v2=(0,1,-1,1)
Seu comprimento é
|u2| =raiz0^2+1^2+(-1)^2+1^2=raiz3,
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e2=u2|u2| =1raiz3,(0,1,-1,1)

Passo 4

Agora projetamos v3 em u1 e u2. Calculamos
lang<= v3,u1rang<= =1cdot1+(-1)cdot0+2cdot1+0cdot1=3, lang<= v3,u2rang<= =1cdot0+(-1)cdot1+2cdot(-1)+0cdot1=-3
Então
u3 =v3 -33,u1 --33,u2 =v3-u1+u2 =0
Isso mostra que v3 é combinação linear de v1,v2, de modo que dim W=2 e não há terceiro vetor.

Resposta

Uma base ortonormal de W é
e1=1raiz3,(1,0,1,1), e2=1raiz3,(0,1,-1,1)

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