3.1.1 Pra quê serve isso?
- (Aplicações de Matrizes) Matrizes são usadas para organizar dados.
(a) Crie uma matriz
para descrever suas notas da primeira e segunda VA em disciplinas cursadas no semestre anterior. As linhas representam disciplinas, e as colunas, as unidades. Determine a ordem de
.
(b) Tente encontrar uma matriz
de modo que
resulte em uma matriz que contenha as médias das disciplinas cursadas. Explique como a multiplicação de matrizes permite calcular essas médias.
(c) Construa uma matriz que indique as disciplinas em que você foi aprovado por média (1) e aquelas em que precisou de 3VA (0).
Discuta a importância de matrizes para organizar e processar informações acadêmicas.
2. (Processamento de Sinais) Filtros de imagem utilizam matrizes. Uma engenheira eletrônica está trabalhando com uma imagem digital de
pixels e deseja aplicar um filtro passa-baixa usando a matriz de convolução:
A matriz da imagem original é:
I=[ccc 100 & 120 & 130 90 & 110 & 100 80 & 85 & 90 ]
Calcule a matriz filtrada aplicando a convolução. Explique como esse filtro suaviza a imagem e por que esse tipo de operação é útil no processamento de imagens digitais.
3. (Análise de Materiais) Matrizes representam propriedades de materiais. Um engenheiro de materiais está desenvolvendo um compósito constituído por dois materiais diferentes: fibra de carbono e resina epóxi. As propriedades de tensão e deformação variam em duas direções principais: longitudinal e transversal. A matriz de rigidez do material composto nas duas direções é dada por:
C=[cc EL & nuL T ET nuT L EL & ET ]
Onde:
-
EL é o módulo de elasticidade longitudinal,
-
ET é o módulo de elasticidade transversal,
-
nuL T e
nuT L são os coeficientes de Poisson.
Usando
EL=150 GPa, ET=10 GPa, nuL T=0.25, e
nuT L=0.4, determine a matriz de rigidez do compósito. Aplique uma carga longitudinal e transversal (
sigmaL=50 MPa e
sigmaT=20 MPa ) e calcule as deformações resultantes. Discuta a importância dessas propriedades para o projeto de estruturas e componentes.
4. (Análise Estrutural) Sistemas lineares modelam forças em pontes. Uma engenheira civil está projetando uma pequena ponte suspensa com 3 cabos principais conectados a dois suportes. As forças
F1, F2, e
F3 atuam sobre os cabos de maneira equilibrada, e o sistema de forças no suporte é descrito pelo sistema de equações:
F1+F2+F3 & =0 2 F1+F2-F3 & =100 kN F1-F2+3 F3 & =150 kN
Determine
F1, F2, F3 de modo que o sistema esteja em equilíbrio. Explique como essas forças afetam a estabilidade da ponte e a importância de resolver esses sistemas para garantir a segurança.
5. (Cinemática Robótica) Equações lineares descrevem a posição de robôs. Uma engenheira mecânica está projetando um braço robótico com duas juntas. Os segmentos têm comprimento
L1=2 m e
L2=1.5 m. A posição da garra é descrita pelas equações:
& x=L1 cos (theta1)+L2 cos (theta1+theta2) & y=L1 sin (theta1)+L2 sin (theta1+theta2)
Com
theta1=30^circ e
theta2=45^circ, determine a posição final da garra. Discuta como ajustar os ângulos
theta1 e
theta2 afeta o alcance e a precisão do braço robótico.
6. (Sistemas de Segurança) Matrizes são usadas em sistemas de segurança. Em um aeroporto internacional, um sistema de segurança foi implementado para detectar passageiros em situação irregular. Cada passageiro que passa por este aeroporto é identificado com um código de doze dígitos. Ao ter sido alvo de alguma irregularidade anterior, o passageiro recebe uma nova identificação numérica no sistema, onde:
- O primeiro dígito indica o tipo de irregularidade registrada no banco de dados do aeroporto;
- O segundo dígito indica a origem do passageiro;
- O terceiro dígito refere-se ao tipo de irregularidade cometida anteriormente.
e os demais são gerados aleatoriamente. No momento do check-in, realiza-se automaticamente o produto matricial
X Y, onde:
-
X é uma matriz
3 times 1, formada pelos três primeiros dígitos do código do(a) passageiro(a);
-
Y=[1,1,-1] é uma matriz linha
1 times 3.
Se o resultado do produto
X Y for zero, o(a) passageiro(a) é identificado(a) como possível alvo de investigação adicional. Determine os valores da matriz
X que indicam que o(a) passageiro(a) deve ser investigado(a). Discuta a importância desse sistema para aumentar a segurança em aeroportos.
7. (Computação Gráfica) Matrizes transformam imagens. Na atualidade, a maioria das pessoas dispõe de smartphones que possuem câmeras para registrar fotos (como selfies), vídeos curtos e longos, além de registros de terceiros, etc. Com a intensa utilização das redes sociais, muitas vezes é necessário realizar ajustes nesses registros - como rotacionar, redimensionar, cortar, entre outros. Atualmente, esses processos levam poucos minutos ou até segundos, dependendo da tarefa. Mas será que sempre foi assim? Uma das grandes aplicações da Álgebra Linear está na computação gráfica, permitindo a manipulação eficiente de imagens e vídeos. A seguir, encontre soluções para problemas desta natureza utilizando operações básicas com matrizes:
(a) Rotação de Imagem: Suponha que você tenha uma imagem representada por um conjunto de pontos em um plano 2D. Para rotacionar essa imagem em 90 graus no sentido horário, determine a matriz de rotação e aplique-a no ponto
P=(x, y) da imagem. Encontre a nova posição
P^prime=(x^prime, y^prime) após a rotação.
(b) Redimensionamento de Imagem: O redimensionamento de uma imagem pode ser visto como uma operação de escala em um espaço vetorial. Dado um fator de escala
s, construa a matriz de transformação que, aplicada ao ponto
P=(x, y), retorna o novo ponto
P^prime correspondente à imagem redimensionada.
(c) Reflexão de Imagem: Um reflexo horizontal inverte as coordenadas de uma imagem ao longo do eixo vertical (ou seja, troca os valores de
x de cada ponto
P=(x, y) da imagem). Encontre a matriz que descreve essa transformação e aplique-a a um ponto da imagem.
Discuta como essas transformações são usadas em softwares de edição de imagem e vídeo.
8. (Matrizes Booleanas) Matrizes booleanas representam situações com dois estados. Uma matriz é dita do tipo Booleana se suas entradas
ai j forem iguais a
1 ou
0. Estas matrizes são aplicadas computacionalmente para descrever situações em que pretende-se analisar objetos que assumem apenas duas possibilidades de estados. Vejamos alguns exemplos a seguir.
(a) Sejam
A1, A2, A3 três aeroportos brasileiros interligados por meio de vôos diretos ou por meio de voos com escala. A matriz a seguir mostra como estes aeroportos estão interligados, onde o valor 1 representa voos diretos e 0 voos com escala.
V=(lll 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 )
O elemento
ai j representa vôos que saem de
Ai e chegam em
Aj. Quais rotas podem ser feitas apenas com vôos diretos?
(b) A matriz
V^2 representa que tipo de situação em termos de conexão entre os aeroportos?
Discuta outras aplicações de matrizes booleanas em ciência da computação e áreas afins.