Leia o texto dessa unidade e responda:
- O que é um anel de integridade?
- O que é um corpo?
- Mostre que todo corpo é um anel de integridade
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (1) definir o que é um anel de integridade, (2) definir o que é um corpo e (3) mostrar que todo corpo é, de fato, um anel de integridade. O conteúdo aqui é Álgebra Abstrata, mais especificamente Teoria de Anéis.
Passo 2
Um anel de integridade é um anel comutativo unitário que não tem divisores de zero. Em outras palavras, um anel
é um anel de integridade se satisfaz:
-
é comutativo para a multiplicação e existe elemento neutro . - Para quaisquer
, se então ou .
Passo 3
Um corpo é um anel comutativo unitário em que todo elemento não nulo é invertível. Mais formalmente, um anel
é corpo se:
-
é comutativo para a multiplicação e tem elemento neutro . - Para cada
com , existe tal que .
Passo 4
Para mostrar que todo corpo
é um anel de integridade, basta verificar a condição de “sem divisores de zero”:
Sejam tais que
Sejam
Se
estamos ok. Se
, então, por ser corpo, existe
com
. Multiplicando a equação
à esquerda por
, obtemos
Logo, em todo caso,
ou
. Isso prova que não há divisores de zero em
, ou seja,
é um anel de integridade.
Resposta
Um anel de integridade é um anel comutativo e unitário que não admite divisores de zero (se
então
ou
).
Um corpo é um anel comutativo e unitário em que todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo.
Todo corpo é um anel de integridade porque, dado em um corpo com
, se
então
existe e leva a
, evitando assim qualquer divisor de zero.
Um corpo é um anel comutativo e unitário em que todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo.
Todo corpo é um anel de integridade porque, dado