Leia o texto dessa unidade e responda:
  • O que é um anel de integridade?
  • O que é um corpo?
  • Mostre que todo corpo é um anel de integridade

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (1) definir o que é um anel de integridade, (2) definir o que é um corpo e (3) mostrar que todo corpo é, de fato, um anel de integridade. O conteúdo aqui é Álgebra Abstrata, mais especificamente Teoria de Anéis.

Passo 2

Um anel de integridade é um anel comutativo unitário que não tem divisores de zero. Em outras palavras, um anel A é um anel de integridade se satisfaz:
  1. A é comutativo para a multiplicação e existe elemento neutro 1neq0.
  2. Para quaisquer a,bin A, se acdot b = 0 então a=0 ou b=0.

Passo 3

Um corpo é um anel comutativo unitário em que todo elemento não nulo é invertível. Mais formalmente, um anel K é corpo se:
  1. K é comutativo para a multiplicação e tem elemento neutro 1neq0.
  2. Para cada ain K com aneq0, existe a^-1in K tal que acdot a^-1=1.

Passo 4

Para mostrar que todo corpo K é um anel de integridade, basta verificar a condição de “sem divisores de zero”:
Sejam a,bin K tais que
acdot b = 0
Se a=0 estamos ok. Se aneq0, então, por ser corpo, existe a^-1 com a^-1cdot a = 1. Multiplicando a equação acdot b = 0 à esquerda por a^-1, obtemos
(a^-1cdot a),cdot b = a^-1cdot 0 Longrightarrow 1cdot b = 0 Longrightarrow b = 0
Logo, em todo caso, a=0 ou b=0. Isso prova que não há divisores de zero em K, ou seja, K é um anel de integridade.

Resposta

Um anel de integridade é um anel comutativo e unitário que não admite divisores de zero (se acdot b=0 então a=0 ou b=0).
Um corpo é um anel comutativo e unitário em que todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo.
Todo corpo é um anel de integridade porque, dado a,b em um corpo com acdot b=0, se aneq0 então a^-1 existe e leva a b=0, evitando assim qualquer divisor de zero.

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