Exame - Data: 11/12/2024
CDI1001 - Cálculo Diferencial e Integral 1 - Turma PRO242-01U
Prof. Bruno Vinicio do Vale
Aluno:
Instruções:
  • A prova é individual e sem consulta. Pode ser feita a lápis.
  • Respostas sem justificativas não são consideradas. Devem ser utilizados conceitos vistos em aula.
  1. ( 1,5 ponto) Considere a função f(x)=-2 x^3-9 x^2+24 x+1.
    © Determine o intervalo em que a função apresenta concavidade para cima e o intervalo em que a função apresenta concavidade para baixo.

Passo 1

O enunciado pede para determinarmos onde a função f(x)=−2x³−9x²+24x+1 é côncava para cima e para baixo. Esse conteúdo envolve a definição de concavidade via segunda derivada e o ponto de inflexão.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de f. Primeiro a derivada primeira:
f'(x)=ddxl(-2x^3-9x^2+24x+1r)=-6x^2-18x+24
Em seguida a segunda derivada:
f''(x)=ddx(-6x^2-18x+24)=-12x-18

Passo 3

Para achar o ponto de inflexão, igualamos a segunda derivada a zero:
-12x-18=0 Longrightarrow x=-tfrac1812=-tfrac32
Esse valor divide o domínio em dois intervalos.

Passo 4

Agora analisamos o sinal de f’’(x)=−12x−18 em cada intervalo:
  • Para x<−3/2, por exemplo x=−2, f’’(−2)=24−18=6>0, logo f é côncava para cima em (−∞,−3/2).
  • Para x>−3/2, por exemplo x=0, f’’(0)=−18<0, logo f é côncava para baixo em (−3/2,∞).

Resposta

f é côncava para cima em (−∞,−3/2) e côncava para baixo em (−3/2,∞).

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