(UF-PA) Um professor de Matemática propôs o seguinte problema aos seus alunos:
Determine o valor preciso da seguinte expressão em que os algoritmos são todos calculados na base 10 (logaritmos decimais):
Os alunos que resolveram corretamente esta questão concluíram que:
a)
b)
c)
d)
Determine o valor preciso da seguinte expressão em que os algoritmos são todos calculados na base 10 (logaritmos decimais):
Os alunos que resolveram corretamente esta questão concluíram que:
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá a soma de nove logaritmos decimais e pede o valor preciso de
:
onde todos os logaritmos são na base
.
O enunciado apresenta quatro alternativas:
a)
b)
c)
d)
O enunciado apresenta quatro alternativas:
a)
b)
c)
d)
Passo 2
Relembrando duas propriedades fundamentais de logaritmos (explicadas com calma):
- A soma de logs transforma-se no log do produto:
Por quê? Porque
é o expoente que faz
. Então
logo o expoente à esquerda é
.
- Logaritmo de potência:
Isto é útil quando reconhecemos potências de
.
Vou usar essas propriedades para juntar a soma de logs em um único log.
Passo 3
Aplicando a propriedade da soma como log de produto, escreve-se:
Agora vamos simplificar o produto dentro do log. Escrevendo numerador e denominador:
Observe que os fatores
aparecem tanto no numerador quanto no denominador e se cancelam.
Passo 4
Após o cancelamento sobra:
Portanto
Escrevendo
e usando a propriedade do logaritmo de potência:
Passo 5
Conclusão final: o valor exato é
. Comparando com as alternativas fornecidas, nenhuma das alternativas (a), (b), (c) ou (d) é igual a
.