(UF-PA) Um professor de Matemática propôs o seguinte problema aos seus alunos:
Determine o valor preciso da seguinte expressão em que os algoritmos são todos calculados na base 10 (logaritmos decimais):
x=\log \left(\frac{1}{2}\right)+\log \left(\frac{2}{3}\right)+\log \left(\frac{3}{4}\right)+\log \left(\frac{4}{5}\right)+\log \left(\frac{5}{6}\right)+\log \left(\frac{6}{7}\right)+\log \left(\frac{7}{8}\right)+\log \left(\frac{8}{9}\right)+\log \left(\frac{9}{10}\right)
Os alunos que resolveram corretamente esta questão concluíram que:
a) x=-\frac{1}{2}
b) x=1
c) x=2
d) x=-2

Passo 1

O enunciado dá a soma de nove logaritmos decimais e pede o valor preciso de x:
x=\log\left(\frac{1}{2}\right)+\log\left(\frac{2}{3}\right)+\log\left(\frac{3}{4}\right)+\log\left(\frac{4}{5}\right)+\log\left(\frac{5}{6}\right)+\log\left(\frac{6}{7}\right)+\log\left(\frac{7}{8}\right)+\log\left(\frac{8}{9}\right)+\log\left(\frac{9}{10}\right),
onde todos os logaritmos são na base 10.
O enunciado apresenta quatro alternativas:
a) \displaystyle -\frac{1}{2}
b) \displaystyle 1
c) \displaystyle 2
d) \displaystyle -2

Passo 2

Relembrando duas propriedades fundamentais de logaritmos (explicadas com calma):
  • A soma de logs transforma-se no log do produto:
\log_{10}A+\log_{10}B=\log_{10}(A\cdot B).
Por quê? Porque \log_{10}A é o expoente que faz 10^{\log_{10}A}=A. Então
10^{\log_{10}A+\log_{10}B}=10^{\log_{10}A}\cdot10^{\log_{10}B}=A\cdot B,
logo o expoente à esquerda é \log_{10}(A\cdot B).
  • Logaritmo de potência:
\log_{10}\left(A^{k}\right)=k\log_{10}A.
Isto é útil quando reconhecemos potências de 10.
Vou usar essas propriedades para juntar a soma de logs em um único log.

Passo 3

Aplicando a propriedade da soma como log de produto, escreve-se:
x=\log_{10}\!\left(\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}\cdot\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{5}\cdot\frac{5}{6}\cdot\frac{6}{7}\cdot\frac{7}{8}\cdot\frac{8}{9}\cdot\frac{9}{10}\right).
Agora vamos simplificar o produto dentro do log. Escrevendo numerador e denominador:
\frac{1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9}{2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9\cdot10}.
Observe que os fatores 2,3,4,5,6,7,8,9 aparecem tanto no numerador quanto no denominador e se cancelam.

Passo 4

Após o cancelamento sobra:
\frac{1}{10}.
Portanto
x=\log_{10}\!\left(\frac{1}{10}\right).
Escrevendo \dfrac{1}{10}=10^{-1} e usando a propriedade do logaritmo de potência:
x=\log_{10}\!\left(10^{-1}\right)=-1\cdot\log_{10}10=-1\cdot 1=-1.

Passo 5

Conclusão final: o valor exato é \displaystyle x=-1. Comparando com as alternativas fornecidas, nenhuma das alternativas (a), (b), (c) ou (d) é igual a -1.

Resposta

x=-1 (nenhuma das alternativas fornecidas)

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