(ESPCEX) O elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz inversa da matriz \left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 1 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 0 & 1 & 1\end{array}\right) é:
a) \frac{2}{3}
b) \frac{3}{2}
c) 0
d) -2

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 \\[4pt] 2 & 1 & 0 \\[4pt] 0 & 1 & 1\end{pmatrix}
e pergunta qual é o elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz inversa A^{-1}. Ou seja, precisamos encontrar o valor de (A^{-1})_{23}.]

Passo 2

Vou usar a técnica de eliminação por linhas (redução da matriz aumentada [A\mid I]) para calcular A^{-1}. Isso é prático para matrizes 3\times3 e não exige fórmulas complicadas. Rápido lembrete do porquê: se conseguimos transformar A em I por operações elementares aplicadas a [A\mid I], as mesmas operações transformam I em A^{-1}. Também é útil verificar que A é invertível checando seu determinante; se o determinante for zero não existe inversa.

Passo 3

Primeiro calculo rápido do determinante como cheque de invertibilidade. Usando expansão:
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]1&1\end{pmatrix}+1\cdot\det\begin{pmatrix}2&1\\[4pt]0&1\end{pmatrix}
\det(A)=1\cdot(1\cdot1-0\cdot1)+1\cdot(2\cdot1-1\cdot0)=1+2=3.
Como \det(A)=3\neq0, A é invertível e a técnica da matriz aumentada funciona.]

Passo 4

Escrevemos a matriz aumentada [A\mid I]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]
A meta é transformar a parte esquerda em I_3 usando operações elementares.]

Passo 5

Elimino o elemento abaixo do pivô da primeira coluna. Faço R_2 \leftarrow R_2-2R_1. Cálculo:
R_2-2R_1 = [2-2\cdot1,\;1-2\cdot0,\;0-2\cdot1\;|\;0-2\cdot1,\;1-2\cdot0,\;0-2\cdot0]
=[0,\;1,\;-2\;|\;-2,\;1,\;0].
A matriz aumentada vira
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right]]

Passo 6

Elimino o elemento da segunda coluna na terceira linha com R_3 \leftarrow R_3-R_2. Cálculo:
R_3-R_2=[0-0,\;1-1,\;1-(-2)\;|\;0-(-2),\;0-1,\;1-0]
=[0,\;0,\;3\;|\;2,\;-1,\;1].
Agora
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 3 & 2 & -1 & 1 \end{array}\right]]

Passo 7

Normalizo o pivô da terceira linha dividindo por 3: R_3\leftarrow\frac{1}{3}R_3. Assim
R_3=[0,\;0,\;1\;|\;\tfrac{2}{3},\;-\tfrac{1}{3},\;\tfrac{1}{3}].
Aumentada:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & -2 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{array}\right]]

Passo 8

Agora elimino os entradas acima do pivô da terceira coluna. Primeiro R_1\leftarrow R_1-R_3:
R_1-R_3=[1-0,\;0-0,\;1-1\;|\;1-\tfrac{2}{3},\;0-(-\tfrac{1}{3}),\;0-\tfrac{1}{3}]
=[1,\;0,\;0\;|\;\tfrac{1}{3},\;\tfrac{1}{3},\;-\tfrac{1}{3}].
Depois R_2\leftarrow R_2+2R_3 (porque R_2 tem -2 na terceira coluna):
R_2+2R_3=[0,\;1,\;-2+2\cdot1\;|\;-2+2\cdot\tfrac{2}{3},\;1+2\cdot(-\tfrac{1}{3}),\;0+2\cdot\tfrac{1}{3}]
=[0,\;1,\;0\;|\; -2+\tfrac{4}{3},\;1-\tfrac{2}{3},\;\tfrac{2}{3}]
=[0,\;1,\;0\;|\; -\tfrac{2}{3},\;\tfrac{1}{3},\;\tfrac{2}{3}].

Passo 9

Agora a parte esquerda é a identidade I_3. A parte direita é A^{-1}. Portanto
A^{-1}=\begin{pmatrix} \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3} \\[4pt] -\tfrac{2}{3} & \tfrac{1}{3} & \tfrac{2}{3} \\[4pt] \tfrac{2}{3} & -\tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.
O elemento da segunda linha e terceira coluna é a entrada na segunda linha, terceira coluna dessa matriz: \tfrac{2}{3}.]

Resposta

\dfrac{2}{3}

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