Mostre que A e B não são matrizes semelhantes.
A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 3 & 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\\\ 3 & -2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as matrizes A e B não são semelhantes. As informações dadas são exatamente as duas matrizes 2\times2:
A=\begin{pmatrix}1 & 1 \\[4pt] 3 & 2\end{pmatrix}
B=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 3 & -2\end{pmatrix}
Não há outras informações explícitas no enunciado.]

Passo 2

Vou lembrar o que significa “duas matrizes serem semelhantes” (sem, ainda, resolver). Duas matrizes quadradas A e B são semelhantes se existe uma matriz invertível P tal que
B = P^{-1} A P.
Isso é uma condição algebraica forte: quando B é obtida por essa conjugação, algumas grandezas associadas a A permanecem iguais para B. Essas grandezas são chamadas de invariantes da semelhança. Exemplos simples de invariantes são o traço e o determinante, e por consequência o polinômio característico.

Passo 3

Explico por que o traço e o determinante são invariantes sob semelhança.
  1. Traço ( \operatorname{tr}). O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Uma propriedade geral é que para quaisquer matrizes quadradas X e Y (de tamanho compatível) vale
\operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(YX).
Uma demonstração rápida dessa identidade usa notação de somas: \operatorname{tr}(XY)=\sum_i (XY)_{ii}=\sum_i\sum_j X_{ij}Y_{ji}=\sum_j\sum_i Y_{ji}X_{ij}=\operatorname{tr}(YX). Usando essa identidade, para uma matriz invertível P temos
\operatorname{tr}(P^{-1} A P)=\operatorname{tr}\big((P^{-1}A)P\big)=\operatorname{tr}\big(P(P^{-1}A)\big)=\operatorname{tr}\big((PP^{-1})A\big)=\operatorname{tr}(I A)=\operatorname{tr}(A).
Ou seja, o traço é preservado por conjugação, logo é invariante por semelhança.
  1. Determinante ( \det). Para determinantes vale a propriedade multiplicativa \det(XY)=\det(X)\det(Y). Então, se B=P^{-1}AP,
\det(B)=\det(P^{-1}AP)=\det(P^{-1})\det(A)\det(P)=\det(A)\det(P^{-1}P)=\det(A).
Portanto o determinante também é invariante por semelhança.
Como consequência prática, o polinômio característico de uma matriz M de ordem 2 é
\chi_M(\lambda)=\lambda^2-(\operatorname{tr}M)\lambda+\det M,
e matrizes semelhantes têm o mesmo polinômio característico (pois têm mesmo traço e mesmo determinante).

Passo 4

Calculo o traço e o determinante de A.
Traço de A:
\operatorname{tr}(A)=1+2=3.
Determinante de A:
\det(A)=1\cdot 2 - 1\cdot 3 = 2-3 = -1.
Posso também escrever o polinômio característico de A (opcional, só para ilustrar):
\chi_A(\lambda)=\lambda^2 - (\operatorname{tr}A)\lambda + \det(A)=\lambda^2 - 3\lambda - 1.

Passo 5

Calculo o traço e o determinante de B.
Traço de B:
\operatorname{tr}(B)=1+(-2)=-1.
Determinante de B:
\det(B)=1\cdot(-2)-0\cdot 3 = -2.
O polinômio característico de B (para comparar) é
\chi_B(\lambda)=\lambda^2 - (\operatorname{tr}B)\lambda + \det(B)=\lambda^2 -(-1)\lambda + (-2)=\lambda^2 + \lambda - 2.

Passo 6

Agora olha a consequência lógica: matrizes semelhantes têm o mesmo traço (e, portanto, o mesmo polinômio característico). Aqui \operatorname{tr}(A)=3 enquanto \operatorname{tr}(B)=-1. Como os traços são diferentes, a condição necessária para que A e B sejam semelhantes não é satisfeita. Em outras palavras, os invariantes não batem entre A e B.

Resposta

A e B não são semelhantes.

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