Mostre que A e B não são matrizes semelhantes. A=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 3 & 2\end{array}\right], B=\left[\begin{array}{rr}1 & 0 \\\\ 3 & -2\end{array}\right]
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as matrizes A e B não são semelhantes. As informações dadas são exatamente as duas matrizes 2\times2:
Não há outras informações explícitas no enunciado.]
Passo 2
Vou lembrar o que significa “duas matrizes serem semelhantes” (sem, ainda, resolver). Duas matrizes quadradas A e B são semelhantes se existe uma matriz invertível P tal que
B = P^{-1} A P.
Isso é uma condição algebraica forte: quando B é obtida por essa conjugação, algumas grandezas associadas a A permanecem iguais para B. Essas grandezas são chamadas de invariantes da semelhança. Exemplos simples de invariantes são o traço e o determinante, e por consequência o polinômio característico.
Passo 3
Explico por que o traço e o determinante são invariantes sob semelhança.
Traço (\operatorname{tr}). O traço de uma matriz é a soma dos elementos da diagonal principal. Uma propriedade geral é que para quaisquer matrizes quadradas X e Y (de tamanho compatível) vale
\operatorname{tr}(XY)=\operatorname{tr}(YX).
Uma demonstração rápida dessa identidade usa notação de somas: \operatorname{tr}(XY)=\sum_i (XY)_{ii}=\sum_i\sum_j X_{ij}Y_{ji}=\sum_j\sum_i Y_{ji}X_{ij}=\operatorname{tr}(YX). Usando essa identidade, para uma matriz invertível P temos
\operatorname{tr}(P^{-1} A P)=\operatorname{tr}\big((P^{-1}A)P\big)=\operatorname{tr}\big(P(P^{-1}A)\big)=\operatorname{tr}\big((PP^{-1})A\big)=\operatorname{tr}(I A)=\operatorname{tr}(A).
Ou seja, o traço é preservado por conjugação, logo é invariante por semelhança.
Determinante (\det). Para determinantes vale a propriedade multiplicativa \det(XY)=\det(X)\det(Y). Então, se B=P^{-1}AP,
Agora olha a consequência lógica: matrizes semelhantes têm o mesmo traço (e, portanto, o mesmo polinômio característico). Aqui \operatorname{tr}(A)=3 enquanto \operatorname{tr}(B)=-1. Como os traços são diferentes, a condição necessária para que A e B sejam semelhantes não é satisfeita. Em outras palavras, os invariantes não batem entre A e B.