Vale: 1,5 ) Resolva o problema de Valor Inicial
2 d^2 yd x^2+5 d yd x+3 y=0, y(0)=3 e d yd x(0)=-4

Passo 1

Aqui o problema é um PVI para uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
2 d^2ydx^2 + 5 dydx + 3y = 0, y(0) = 3, y'(0) = -4
Para resolver, vamos usar a equação característica.

Passo 2

Assumindo y = e^rx, a equação característica fica
2r^2 + 5r + 3 = 0
Resolvendo, temos r = -5 pm raiz25 - 244 = -1 e -tfrac32.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas ( r1 = -1, r2 = -tfrac32), a solução geral da EDO é
y(x) = C1 e^-x + C2 e^-3x2

Passo 4

Agora, para determinar C1 e C2, precisamos de y'(x). Derivando,
y'(x) = -C1 e^-x - 32 C2 e^-3x2

Passo 5

Aplicando as condições iniciais:
Para y(0) = 3:
C1 + C2 = 3
Para y'(0) = -4:
- C1 - 32C2 = -4
Resolvendo esse sistema, achamos C2 = 2 e C1 = 1.

Resposta

y(x) = e^-x + 2e^-tfrac3x2

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