Vale: 2,0 ) Resolva as equações diferenciais:
d^2 yd x^2-6 d yd x+10 y=0

Passo 1

Estamos resolvendo uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: d^2ydx^2-6dydx+10y=0. Para isso, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y=e^rx. Substituindo na equação diferencial, temos:
d^2dx^2(e^rx) - 6ddx(e^rx) + 10e^rx = 0
Como ddx(e^rx) = re^rx e d^2dx^2(e^rx) = r^2e^rx, isso leva à equação
$$
r2e{rx} - 6r e^{rx} + 10e^{rx} = 0 r^2e^rx - 6r e^rx + 10e^rx = 0 éçãí
r^2 - 6r + 10 = 0
$$

Passo 3

Aplicamos a fórmula de Bhaskara em r^2 - 6r + 10 = 0:
r = 6 pm raiz(-6)^2 - 4cdot1cdot102 = 6 pm raiz36 - 402 = 6 pm raiz-42 = 3 pm i

Passo 4

As raízes são complexas conjugadas r = 3 pm i, então a solução geral é dada por
y(x) = e^3xl(C1cos x + C2sin xr)

Resposta

y(x) = e^{3x}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr)

Exercícios relacionados