Calcule todas as derivadas parciais de
ordem da função:
Passo 1
O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
O conteúdo envolvido é regra da cadeia para derivadas parciais. Primeiro vamos obter as derivadas parciais de primeira ordem e, em seguida, derivar cada uma em
e
para achar as de segunda ordem.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
Derivando em relação a
, aplicamos regra da cadeia com
:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Calcular
, derivando
em relação a
:
Temos
. Seja ainda
.
Passo 4
Calcular
e
:
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Note que
, conforme esperado pela condição de Clairaut (suavidade de
).
Passo 5
Calcular
, derivando
em relação a
: