Calcule todas as derivadas parciais de 2{ }^{a} ordem da função:
f(x, y)=\operatorname{sen}\left(x^{2}+y\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem da função
f(x,y)=\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y\bigr).
O conteúdo envolvido é regra da cadeia para derivadas parciais. Primeiro vamos obter as derivadas parciais de primeira ordem e, em seguida, derivar cada uma em x e y para achar as de segunda ordem.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
Derivando em relação a x, aplicamos regra da cadeia com u=x^{2}+y:
f_{x}(x,y) =\frac{\partial}{\partial x}\operatorname{sen}(u) =\cos(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x} =\cos\bigl(x^{2}+y\bigr)\cdot2x =2x\cos\bigl(x^{2}+y\bigr).
Derivando em relação a y:
f_{y}(x,y) =\frac{\partial}{\partial y}\operatorname{sen}(u) =\cos(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y} =\cos\bigl(x^{2}+y\bigr)\cdot1 =\cos\bigl(x^{2}+y\bigr).

Passo 3

Calcular f_{xx}, derivando f_{x} em relação a x:
Temos f_{x}=2x\cos\bigl(x^{2}+y\bigr). Seja ainda u=x^{2}+y.
f_{xx} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x\cos(u)\bigr) =2\cos(u)+2x\bigl(-\operatorname{sen}(u)\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial x} =2\cos\bigl(x^{2}+y\bigr)-2x\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y\bigr)\cdot2x
f_{xx} =2\cos\bigl(x^{2}+y\bigr)-4x^{2}\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y\bigr).

Passo 4

Calcular f_{xy} e f_{yx}:
Derivando f_{x}=2x\cos(u) em relação a y:
f_{xy} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2x\cos(u)\bigr) =2x\bigl(-\operatorname{sen}(u)\bigr)\cdot\frac{\partial u}{\partial y} =-2x\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y\bigr).
Derivando f_{y}=\cos(u) em relação a x:
f_{yx} =\frac{\partial}{\partial x}\cos(u) =-\operatorname{sen}(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x} =-\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y\bigr)\cdot2x =-2x\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y\bigr).
Note que f_{xy}=f_{yx}, conforme esperado pela condição de Clairaut (suavidade de f).

Passo 5

Calcular f_{yy}, derivando f_{y}=\cos(u) em relação a y:
f_{yy} =\frac{\partial}{\partial y}\cos(u) =-\operatorname{sen}(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial y} =-\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y\bigr)\cdot1 =-\operatorname{sen}\bigl(x^{2}+y\bigr).

Resposta

f_{xx}(x,y)=2\cos(x^{2}+y)-4x^{2}\operatorname{sen}(x^{2}+y) f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)=-2x\operatorname{sen}(x^{2}+y) f_{yy}(x,y)=-\operatorname{sen}(x^{2}+y)

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